Nejmenší společný násobek (zkratka NSN či n, – LCM) několika daných čísel je nejmenší kladné celé číslo, které je celočíselným násobkem všech daných čísel. Společný násobek dvou nebo několika čísel je takové číslo, které je násobkem každého z těchto daných čísel.

Příklad Například nejmenší společný násobek čísel 15, 20 a 90 je 180.

Výpočet pomocí rozkladu Nejmenší společný násobek dvou čísel lze nalézt tak, že každé z čísel je rozloženo na součin prvočísel (tzv. prvočíselný rozklad) a výsledný NSN je součinem největšího možného počtu všech prvočísel (resp. součin největších mocnin), která se vyskytují alespoň v jednom rozkladu.

Ukázka (součin největšího možného počtu prvočísel) Zadaná čísla: 15 a 20 Číslo 15 lze rozložit na součin prvočísel 3 × 5 Číslo 20 lze rozložit na součin 2 × 2 × 5 Nejmenší součin musí obsahovat součin: 2 × 2, 3 a 5, což je 2 × 2 × 3 × 5 = 60.

Ukázka (součin největších možných mocnin) Zadaná čísla: 36, 40 36 = 22 × 32 40 = 23 × 51 Výsledek: n(36, 40) = 23 × 32 × 51 = 360

Ukázka se třemi čísly Zadaná čísla: 15, 20, 90 15 = 3 × 5 20 = 2 × 2 × 5 90 = 2 × 3 × 3 × 5 Výsledek: n(15, 20, 90) = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180

Výpočet pomocí NSD Nejmenší společný násobek (NSN) lze vypočítat pomocí největšího společného dělitele (NSD) pomocí vzorečku:

Využití NSN se používá například při sčítání zlomků o různých jmenovatelích, kdy jmenovatel výsledku je nejmenším společným násobkem jmenovatelů sčítaných zlomků, například:

Vlastnost nejmenšího společného násobku a největšího společného dělitele Součin největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku dvou čísel se rovná součinu těchto dvou čísel.

Důkaz Jestliže největší společný dělitel dvou čísel a je , potom lze číslo rozložit na součin a číslo lze rozložit na součin . Je-li skutečně největším společným dělitelem, potom je nejmenším společným násobkem. Součin je roven , což je také součin NSD a NSN.

Reference

Související články Největší společný dělitel

Externí odkazy

do-skoly.cz – Online kalkulátor pro výpočet nejmenšího společného násobku 2 – 5 čísel včetně postupu řešení.

Kategorie:Teorie čísel