Prüferův obor je pojem z matematiky, konkrétněji z teorie okruhů. Jedná se o obory, které sdílejí vlastnosti s Dedekindovými obory, přestože nemusí být noetherovské. Tvrzení o ideálech a modulech známá v případě Dedekindových oborů pro ně ovšem platí jen v případě konečně generovaných modulů. Prüferovy okruhy nesou své jméno po německém matematikovi Heinzovi Prüferovi.
Definice Prüferův okruh je takový komutativní okruh bez dělitelů nuly, v kterém je každý konečně generovaný ideál invertibilní vzhledem k násobení ideálů.
Existuje ovšem velké množství ekvivalentních definic. Například kterákoliv z následujících vlastností je v případě oboru integrity ekvivalentní tomu, že se jedná o Prüferův obor: Každý nenulový konečně generovaný ideál oboru je invertibilní, to jest , kde a je podílové těleso. Každý nenulový ideál generovaný dvěma prvky je invertibilní. Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály z platí . Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály z platí . Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály z platí . Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály z platí, že pokud , pak nebo .
Vlastnosti Pokud je Prüferův obor a je jeho podílové těleso, pak je Prüferův i každý okruh splňující .
Příklady Okruh všech celých funkcí v otevřené komplexní rovině je Prüferův obor.
Reference
Kategorie:Teorie okruhů