V oboru abstraktní algebry je prvočinitel takový prvek komutativního okruhu , který není ani nulou ani jednotkou a který pro všechna splňuje podmínku, že pokud dělí součin , pak dělí nebo dělí .
Jedná se o zobecnění prvočísel. V případě celých čísel jsou prvočiniteli právě prvočísla a čísla k nim asociovaná, tedy prvočísla vynásobená , tedy čísla .
Vlastnosti Je-li prvek prvočinitelem, je prvočinitelem i prvek pro libovolnou jednotku V libovolném oboru integrity platí, že prvočinitel je vždy ireducibilním prvkem, ale opačně to obecně neplatí (příklad níže). V Gaussových oborech, kde platí analogie Základní věty aritmetiky, také platí, že každý ireducibilní prvek je prvočinitelem. Prvek , který není jednotkou, je prvočinitelem právě tehdy, když je jím generovaný hlavní ideál nenulovým prvoideálem
Příklady například čísla a (a mnohá jiná) v oboru celých čísel například prvek (a mnohé jiné) v oboru Gaussových celých čísel například mnohočlen (a mnohé jiné) v polynomiálním okruhu všech mnohočlenů s koeficienty z okruhu celých čísel v oboru integrity , jehož prvky jsou čísla tvaru pro , je sice číslo 2 ireducibilním prvkem, ale přestože dělí číslo 6, nedělí ani jeden z činitelů , tedy se nejedná o prvočinitele. protože všechny prvky těles jsou buď nulou nebo jednotkami, neobsahují tělesa žádné prvočinitele
Reference
Kategorie:Teorie okruhů