Totální diferenciál je v matematice zobecnění diferenciálu na funkci více proměnných. Přibližně vyjadřuje závislost změny hodnoty funkce několika proměnných na malé změně jedné nebo více proměnných v okolí daného bodu. Tuto závislost aproximuje jako lineární funkci. Chyba této aproximace při malé změně proměnných musí být velmi malá (ve smyslu definice), jinak totální diferenciál neexistuje. Zkoumaná funkce tedy musí být dostatečně hladká. Jestliže totální diferenciál v daném bodě existuje, tak říkáme, že funkce v daném bodě má totální diferenciál nebo že je v daném bodě diferencovatelná. T. d. v daném pevném bodě je lineární forma přírůstků (diferenciálů) proměnných. Celkově se jedná o zvláštní případ (lineární) diferenciální formy.
Pokud v bodě existuje totální diferenciál funkce n proměnných , pak je to lineární funkce , kde je parciální derivace funkce podle v bodě , je gradient funkce v bodě , je vektor změn jednotlivých nezávislých proměnných a symbol značí skalární součin.
Definice Nechť je funkce n reálných proměnných definovaná na jistém okolí bodu . Totálním diferenciálem funkce v bodě nazýváme lineární funkci , s níž lze funkci v okolí bodu aproximovat jako
tak, že pro chybu aproximace platí
.
Jestliže taková lineární funkce existuje, pak má tvar
a říkáme, že funkce má v bodě totální diferenciál neboli že je v bodě diferencovatelná.
Podmínky a důsledky diferencovatelnosti Jestliže má funkce na jistém okolí bodu spojité všechny parciální derivace, pak má v bodě totální diferenciál. Jestliže má funkce v bodě totální diferenciál, pak je v bodě spojitá a má v něm směrovou derivaci v každém směru.
Geometrický význam Totální diferenciál je roven přírůstku lineární funkce, jež popisuje její tečnou nadrovinu v daném bodě. Pro názornou interpretaci geometrického významu totálního diferenciálu budeme uvažovat funkci dvou proměnných a bod, ve kterém budem zkoumat existenci totálního diferenciálu . Jelikož tato funkce splňuje podmínky existence totálního diferenciálu, musí platit . Abychom si znázornili totální diferenciál, vypustíme zbytkovou funkci , , Po dosazení za neznámé do rovnice a přeznačení na dostaneme Nyní se podívejme na grafy funkcí a střed|Graf č.1 Z grafu je vidět že graf totálního diferenciálu je přírůstek lineární funkce, jež popisuje tečnou rovinu ke grafu funkce v bodě (jejímž grafem je část kulové plochy). Pro funkci jedné proměnné představuje (totální) diferenciál přírůstek její tečny.
Literatura Krbálek, Milan. Matematická analýza IV. 3., přeprac. vyd. V Praze: České vysoké učení technické, 2009, 252 s. .
Kategorie:Matematické funkce Kategorie:Diferenciální počet