V matematice je metrický tenzor (nebo krátce metrika) tenzorové pole druhého řádu na hladké varietě, které umožňuje definovat délky křivek, velikosti ploch a objemů, úhly mezi vektory a další geometrické vlastnosti prostoru.
Metrický tenzor přiřazuje v každém bodě variety dvojici vektorů z tečného prostoru reálné číslo a tím určuje její lokální geometrickou strukturu.
Metrický tenzor je základním objektem riemannovské a pseudo-riemannovské geometrie. V obecné teorii relativity popisuje geometrii časoprostoru.
Definice
Metrickým tenzorem (nebo krátce metrikou) v bodě se rozumí symetrický nedegenerovaný tenzor typu .
Je-li metrika vyjádřena složkami , pak musí splňovat podmínky
(symetrie)
a pro každý
(nedegenerovanost)
pro každý vektor .
Nedegenerovanost zaručuje, že metrika jednoznačně převádí vektory na kovektory a že neexistuje nenulový vektor kolmý na všechny ostatní vektory tečného prostoru.
Metrická forma
Metrický tenzor určuje na hladké varietě tzv. metrickou formu neboli element délky. V souřadnicích má tvar
kde jsou složky metrického tenzoru a je použita Einsteinova sumační konvence.
Výraz představuje kvadrát infinitesimální délky mezi dvěma nekonečně blízkými body variety. Metrická forma umožňuje určovat délky křivek, velikosti vektorů, úhly mezi vektory a další geometrické vlastnosti prostoru.
Signatura metriky
Metrický tenzor lze v každém bodě variety vhodnou volbou báze převést na diagonální tvar. Počet kladných, záporných a nulových členů na diagonále se nazývá signatura metriky. Tento počet nezávisí na volbě báze a představuje invariantní vlastnost metriky.
V riemannovské geometrii je metrika kladně definitní a její signatura má tvar
V pseudo-riemannovské geometrii může metrika obsahovat kladná i záporná vlastní čísla. Zvláštním případem je lorentzovská metrika, používaná v obecné teorii relativity, jejíž signatura se obvykle zapisuje jako
nebo ekvivalentně
Riemannovské a lorentzovské metriky
Riemannovské metriky jsou pozitivně definitní a umožňují definovat skalární součin, velikost vektorů, úhly a délky křivek obdobně jako v eukleidovském prostoru.
Lorentzovské metriky mají jednu časovou a několik prostorových dimenzí. Na rozdíl od riemannovských metrik umožňují rozlišovat časupodobné, prostorupodobné a nulové směry, čímž určují kauzální strukturu časoprostoru.
Skalární součin
Riemannovská metrika umožňuje definovat skalární součin dvou vektorů a z tečného prostoru jako
V souřadnicovém vyjádření lze skalární součin zapsat ve tvaru
kde jsou složky metrického tenzoru a je použita Einsteinova sumační konvence.
Skalární součin je symetrický, protože a lineární v každém ze svých argumentů. Pomocí metrického tenzoru lze určovat velikosti vektorů, úhly mezi nimi a další geometrické vlastnosti variety.
Velikost a úhel vektorů
Pomocí metrického tenzoru lze definovat velikost vektoru vztahem
Jsou-li a dva nenulové vektory, lze úhel mezi nimi definovat pomocí vztahu
Tyto vztahy jsou přímo zobecněním známých vzorců z eukleidovského prostoru na obecnou riemannovskou varietu.
Délka křivky
Je-li křivka zadána parametricky ve tvaru
pak její délka mezi body odpovídajícími parametrům a je dána vztahem
Integrand představuje velikost tečného vektoru ke křivce. V eukleidovském prostoru se tento vztah redukuje na obvyklý vzorec pro výpočet délky křivky.
Kauzální struktura
Je-li metrika lorentzovské signatury pak výraz
umožňuje rozlišovat tři typy vektorů:
|| vektor je časupodobný
|| vektor je nulový (nebo světelný)
|| vektor je prostorupodobný
Toto rozdělení je základem kauzální struktury časoprostoru a umožňuje rozlišovat směry, kterými se mohou šířit hmotné částice a elektromagnetické záření.
Všechny nulové vektory v daném bodě vytvářejí světelný kužel, který odděluje časupodobné a prostorupodobné směry.
Zvyšování a snižování indexů
Metrický tenzor umožňuje převádět kontravariantní složky vektorů na kovariantní a naopak. Tento proces se označuje jako snižování a zvyšování indexů.
Jsou-li dány kontravariantní složky vektoru , pak odpovídající kovariantní složky jsou určeny vztahem
Naopak pomocí inverzního metrického tenzoru , který splňuje , kde je Kroneckerovo delta, lze index opět zvýšit:
Metrický tenzor tak vytváří přirozené zobrazení mezi tečným prostorem a jeho duálním prostorem.
Odkazy Reference
Literatura
Související články Tenzor Signatura metriky Tečný prostor
Kategorie:Riemannova geometrie