P-adická čísla (značená Qp) jsou číselná struktura používaná v matematice, zejména v teorii čísel. Jsou definována pro libovolné prvočíslo p. přičemž pro různá p se jedná o různé struktury, které rozšířují racionální čísla jiným způsobem než klasická čísla reálná a komplexní. Písmeno p v názvu je tedy proměnná, do které můžeme dosazovat různé konstanty a tak získáme 2-adická čísla, 3-adická čísla, 5-adická čísla atp.
Základem formálního zavedení p-adických čísel je alternativní pohled na funkci absolutní hodnoty. Ta je obvyklou metrikou, chceme-li uvažovat těleso racionálních čísel jako metrický prostor. Zavedení jiné metriky nám dává možnost zkonstruovat jiné zúplnění prostoru racionálních čísel. Vznikne nám tak alternativní topologický prostor k reálným číslům, v kterém je pro každou Cauchyovskou posloupnost obsažena i její limita. Tím je dána i možnost vybudovat alternativní kalkulus, totiž p-adickou analýzu.
Poprvé p-adická čísla popsal Kurt Hensel v roce 1897, přičemž motivací jejich zavedení byla snaha přenést do teorie čísel metody a myšlenky známé z práce s mocninnými řadami. Vliv p-adických čísel od té doby zasáhl mnohé oblasti matematiky, přičemž stále platí, že jejich hlavní význam tkví v propojování algebry s analýzou.
Neformální zavedení Předpokládejme prvočíslo. Jakékoliv celé číslo můžeme vyjádřit v soustavě o základu , tedy získat „číslice“ takové, že . Tedy například 13 je v dvojkové soustavě , v trojkové soustavě je .
Na základě takového zápisu můžeme pomocí celých čísel definovat čísla racionální (a posléze reálná), totiž když povolíme nekonečně číslic za řádovou čárkou a tedy nekonečné součty . Operace s nekonečnými součty předpokládá možnost definovat limity, jejichž definice je závislá na metrice. Můžeme pak například 1/3 zapsat v pětkové soustavě jako limitu posloupnosti . Naopak celým číslům v těchto vyjádřeních odpovídají právě ta čísla, která mají za řádovou čárkou jenom nuly, neboli .
V případě -adických čísel naopak povolíme nekonečné součty v podobě: , kde je nějaké celé číslo, které nemusí být kladné. Lze dodefinovat rovnost těchto součtů tak, že vytvoříme těleso. Podobně jako předtím lze mluvit o celých číslech — -adická celá čísla jsou právě ta, která mají pro záporná nulové koeficienty . Podokruh -adických celých čísel bývá značen (tedy stejně, jako bývají často značena konečná prvotělesa v modulární aritmetice, což je ovšem zcela odlišná záležitost).
Zatímco u reálných čísel může být nekonečný jejich rozvoj doprava, „za řádovou čárkou“, u -adických čísel může být nekonečný rozvoj doleva. Například 1/3 má v -adické soustavě o základu 5 nekonečný rozvoj …1313132. Vynásobením (s ohledem na povahu zápisu v řádu 5) tohoto nekonečného součinu totiž získáváme …0000001. Zajímavé také je, že toto číslo neobsahuje žádné číslice za řádovou čárkou, jedná se tedy o 5-adické celé číslo.
Formální konstrukce -adická čísla je možné formálně zkonstruovat více způsoby. Následující postup je bližší analýze.
Reálná čísla je možné definovat jako třídy ekvivalence Cauchyovských posloupností racionálních čísel; tím je také dána možnost zapisovat 1 jako 1,0000… nebo 0,999… Definice Cauchyovských posloupností je možná jen v metrickém prostoru a je závislá na definované metrice. Změníme-li tedy definici metriky, můžeme získat analogickou konstrukcí něco jiného než obvyklá reálná čísla.
Metrika, pomocí které jsou konstruována reálná čísla, je takzvaná eukleidovská metrika, která má v jednorozměrném prostoru racionálních čísel podobu známé školské absolutní hodnoty.
Pro dané prvočíslo budeme definovat -adickou absolutní hodnotu na racionálních číslech takto: Pro každé nenulové racionální číslo existuje jednoznačně dané celé číslo , pro které můžeme zapsat , kde ani jedno z celých čísel a není dělitelné . Pokud není čitatel ani jmenovatel dělitelný , pak je rovno 0. Nyní můžeme definovat -adickou absolutní hodnotu: a
Například pro máme
pro všechna jiná prvočísla .
Podle Ostrowského věty platí, že každá zobecněná absolutní hodnota na racionálních číslech odpovídá buď eukleidovské absolutní hodnotě, triviální absolutní hodnotě, nebo -adické absolutní hodnotě pro nějaké . Tím je dáno, že z hlediska normy konstrukcí -adických těles vyčerpáváme všechna možná další rozšíření racionálních čísel.
Na základě -adické absolutní hodnoty lze definovat metriku . Těleso -adických čísel je pak možné definovat jako zúplnění metrického prostoru , jeho prvky jsou třídy Cauchyovských posloupností, kde dvě posloupnosti jsou ekvivalentní, právě když jejich rozdíl konverguje k nule. Tímto způsobem vznikne úplný metrický prostor, který je zároveň tělesem a obsahuje racionální čísla.
Dá se ukázat, že každý z prvků vzniklého tělesa lze jednoznačným způsobem zapsat ve tvaru , kde je nějaké celé číslo a každé z čísel je z množiny {0, …, – 1}. Tato posloupnost konverguje v metrice .
Vzniklé těleso je lokální těleso.
Vlastnosti Okruh -adických čísel je inverzní limitou konečných okruhů , ovšem má nespočetně prvků a má mohutnost kontinua. Stejně tak je nespočetné těleso . Okruh endomorfismů Prüferovy -grupy hodnosti , značený , odpovídá maticovému okruhu matic řádu nad -adickými celými čísly a občas bývá nazýván Tateův modul.
Těleso -adických čísel obsahuje čísla racionální a je charakteristiky 0. Není možné z něj vytvořit uspořádané těleso.
Definujme topologii τ na tak, že za její bázi určíme všechny množiny tvaru . Pak je zkompaktněním vzhledem k odvozené topologii. Relativní topologie na coby podmnožině se nazývá -adickou topologií na .
Na rozdíl od reálných čísel, které mají jediné vlastní algebraické rozšíření, totiž komplexní čísla, která jsou již algebraicky uzavřená, je algebraický uzávěr -adických čísel nekonečného stupně, navíc má nekonečně mnoho navzájem neekvivalentních algebraických rozšíření. Další odlišnost je v tom, že algebraický uzávěr není úplný. Jeho metrické zúplnění se označuje a je algebraicky uzavřené.
Těleso je izomorfní tělesu komplexních čísel, můžeme se na něj tedy dívat jako na komplexní čísla doplněná o nezvyklou metriku. Existence zmíněného izomorfismu byla dokázaná nekonstruktivně a důkaz počítá s platností axiomu výběru; součástí důkazu tedy není nalezení příkladu řečeného izomorfismu.
Těleso -adických čísel obsahuje -té cyklotomické těleso tehdy a jen tehdy, když dělí –1. Například -té cyklotomické těleso je podtělesem tehdy a jen tehdy, když = 1, 2, 3, 4, 6 nebo 12.
Na rozdíl od tělesa reálných čísel jsou nad -adickými čísly nekonstantní funkce, jejichž derivací je nulová funkce, například:
pro .
Těleso je lokálně kompaktní Hausdorffův prostor.
Odkazy
Reference
Externí odkazy
p-adická čísla na stránkách Matematického korespondenčního semináře
Kategorie:Teorie těles Kategorie:Teorie čísel