Riemannův tenzor křivosti (též Riemannův-Christoffelův tenzor) je základní geometrický objekt v diferenciální geometrii, který kvantifikuje křivost variety (například prostoročasu). Tento tenzor určuje, do jaké míry se geometrie daného prostoru v daném bodě liší od geometrie plochého eukleidovského prostoru.
Geometrická a fyzikální interpretace Riemannův tenzor lze interpretovat dvěma hlavními způsoby:
Nekomutativnost derivací: V plochém prostoru nezáleží na pořadí, v jakém provádíme parciální derivace. V zakřiveném prostoru však kovariantní derivace obecně nekomutují. Riemannův tenzor je právě mírou tohoto rozdílu. Paralelní přenos: Pokud přeneseme vektor paralelně podél uzavřené smyčky v zakřiveném prostoru, jeho výsledná orientace se bude lišit od té původní. Tato změna je úměrná Riemannovu tenzoru a ploše obepnuté smyčkou.
Z fyzikálního hlediska v obecné relativitě Riemannův tenzor popisuje slapové síly – tedy tendenci dvou blízkých volně padajících částic se od sebe vzdalovat nebo se k sobě přibližovat (deviace geodetik).
Definice Pro libovolná vektorová pole je Riemannův tenzor definován jako operátor:
kde je afinní konexe a je Lieova závorka vektorových polí.
Souřadnicové vyjádření V lokálních souřadnicích lze složky tenzoru vyjádřit pomocí Christoffelových symbolů :
Symetrie a vlastnosti Riemannův tenzor má v prostoru o dimenzi celkem složek, ale díky hlubokým geometrickým symetriím je počet nezávislých složek redukován na . Ve 4D prostoročase má tedy 20 nezávislých složek.
Základní symetrie (pro Levi-Civitovu konexi):
Antisymetrie v posledních dvou indexech: Antisymetrie v prvních dvou indexech (po snížení prvního indexu): Symetrie vůči záměně párů: První Bianchiho identita (algebraická): Druhá Bianchiho identita (diferenciální):
Odvozené objekty Zúžením Riemannova tenzoru získáme další důležité charakteristiky křivosti: Ricciho tenzor: Skalární křivost (Ricciho skalár): Weylův tenzor: Část Riemannova tenzoru, která zbude po odečtení všech stop (reprezentuje zakřivení, které se šíří ve vakuu, např. gravitační vlny).
Související články Křivost Ricciho tenzor Obecná relativita Geodetika
Literatura
Kategorie:Geometrie Kategorie:Riemannova geometrie