vpravo|náhled|Afinní konexe na sféře umožňuje „odvalování“ tečné roviny z jednoho bodu do druhého. Bod dotyku přitom v rovině vykresluje křivku, která odpovídá rozvinutí křivky na sféře do roviny. Afinní konexe je geometrický objekt na hladké varietě, který spojuje okolní tečné prostory. Pojem afinní konexe má své kořeny v geometrii 19. století a tenzorových počtech, ale nebyl plně rozvinutý až do roku 1920, kdy jej popsali Élie Cartan (jako součást jeho obecné teorie konexí) a Hermann Weyl (který používal tento pojem, jako součást jeho základů pro obecnou teorii relativity).
Definice Nechť M je hladká varieta a C∞(M,TM) je prostor vektorových polí na M, která je prostorem hladké sekce tečného svazku TM. Potom afinní konexe na M je a bilineární zobrazení:
taková, že pro všechny hladké funkce f v C∞(M,R) a všechna vektorová pole X, Y na M:
, to znamená, že je C∞(M,R)-lineární v první proměnné; , to znamená, že splňuje Leibnizovo pravidlo ve druhé proměnné.
Základní vlastnosti
Z definičních vlastností afinní konexe vyplývají tyto důležité důsledky:
Bodová závislost na X: Z vlastnosti linearity vzhledem k v prvním argumentu () plyne, že hodnota v bodě závisí pouze na hodnotě vektoru v tomto konkrétním bodě, a nikoliv na jeho okolí. Lokální závislost na Y: Z Leibnizova pravidla (vlastnost 2) plyne, že hodnota v bodě závisí na hodnotách vektorového pole v libovolně malém okolí bodu (nikoliv však jen v bodě samotném, protože derivujeme). Rozdíl dvou konexí: Pokud máme dvě afinní konexe a , pak jejich rozdíl je bilineární zobrazení závisející hladce na bodě . To znamená, že rozdíl dvou konexí definuje tenzorové pole typu (1,2). Konexe jako součet: Obráceně platí, že pokud je afinní konexe a je hladký homomorfismus vektorových svazků (tenzorové pole typu (1,2)), pak i je afinní konexe.
Lokální vyjádření Pokud je otevřená podmnožina , je tečný svazek triviální a existuje zde kanonická afinní konexe (odpovídající standardní parciální derivaci). Každou jinou afinní konexi na tomto prostoru lze pak zapsat jako:
kde je tzv. konexní forma (v lokálních souřadnicích popsaná Christoffelovými symboly).
Obecněji lze na libovolné varietě pomocí lokální trivializace tečného svazku (na okolí ) psát restrikci konexe ve tvaru .
Literatura
Kategorie:Geometrie Kategorie:Riemannova geometrie