Eisensteinovo kritérium nerozložitelnosti je v matematice, zejména v jejím podoboru algebře, postačující, ale nikoliv nutnou podmínkou pro nerozložitelnost polynomu s celočíselnými koeficienty v racionálních číslech.

Kritérium je pojmenováno po německém matematikovi Gottholdu Eisensteinovi, který jej zveřejnil v časopise Journal für die reine und angewandte Mathematik v roce 1850. Někdy se také nazývá Schönemannovo kritérium nebo Eisensteinovo-Schönemannovo kritérium, protože německý matematik Theodor Schönemann zveřejnil ve stejném časopise jinou formulaci tohoto kritéria už v roce 1846.

Moderní formulace kritéria

Celočíselné polynomy Nechť je mnohočlen stupně s koeficienty z oboru celých čísel, tedy , a nechť existuje prvočíslo takové, že dělí všechny koeficienty kromě vedoucího, ten nedělí a jeho čtverec také nedělí konstantní koeficient, tedy: pro všechna , a , pak je mnohočlen ireducibilní v oboru , tedy v oboru polynomů s racionálními koeficienty.

Jiná možná formulace podmínky ohledně dělitelnosti vedoucího koeficientu uvažuje pouze normovaný polynom, tedy s vedoucím koeficientem rovným jedné.

Zobecnění pro polynomy s racionálními koeficienty Lze vyslovit i podobu pro mnohočleny, jejichž koeficienty jsou tvořeny zlomky: Nechť je , kde zlomky jsou v základním tvaru, tedy největší společný dělitel je roven jedné. Nechť je dále prvočíslo takové, že dělí pro , nedělí a a nedělí . Pak je nad tělesem racionálních čísel ireducibilní.

Zobecnění pro gaussovské obory Nechť je Gaussův obor integrity a mnohočlen z jeho polynomiálního okruhu . Pak pokud je primitivní a existuje ireducibilní prvek splňující pro všechna , a pak je polynom v ireducibilní.

Zobecnění pro obory integrity pomocí ideálů Nechť je obor integrity a mnohočlen z jeho polynomiálního okruhu . Pokud existuje v oboru prvoideál takový, že pro všechna , a ( je součin ideálu s ním samým), pak nelze zapsat jako součin dvou nekonstantních polynomů v . Je-li navíc primitivním polynomem, tedy nemá-li konstantní dělitele, pak je ireducibilní v . Pokud je Gaussův obor integrity a jeho podílovým tělesem je , pak je v něm ireducibilní bez ohledu na svoji primitivitu (konstanty z jsou v jednotkami).

Reference

Kategorie:Polynomy Kategorie:Komutativní algebra Kategorie:Teorie těles Kategorie:Teorie čísel