Dirichletova funkce je funkce, která je definovaná na oboru všech reálných čísel a přitom není spojitá v žádném bodě. Nabývá hodnoty 1, pokud je argumentem racionální číslo, nebo 0, pokud je argumentem iracionální číslo.
Definice a graf náhled|Náznak grafu Dirichletovy funkce. |270x270pixelů Dirichletova funkce je definována následujícím předpisem:
Náznak grafu Dirichletovy funkce je znázorněn na obrázku vpravo. Skutečný graf této funkce nelze žádným způsobem nakreslit ani si ho představit, což vedlo mnohé matematiky zejména v 19. století k pochybám, zda Dirichletova funkce je skutečně funkcí či jakousi „příšerou“, která nepatří do matematiky. Dnes již matematika zcela bez námitek uznává i funkce mnohem podivnější.
Alternativní definice Dirichletovu funkci lze také zapsat pomocí limitní formulace:
Tato formulace využívá rozdílného chování výrazu pro racionální a iracionální hodnoty :
Pokud je , tedy , pak pro dostatečně velké platí, že . V takovém případě je , a tedy . Pokud je naopak , pak pro žádné , takže osciluje v intervalu , a tudíž .
Vlastnosti Dirichletova funkce: není spojitá v žádném bodě nemá dokonce v žádném bodě limitu a to ani jednostrannou není monotónní na žádném intervalu ani v žádném bodě nabývá maxima v každém racionálním bodě a minima v každém iracionálním bodě na žádném intervalu pro ni není definován Newtonův ani Riemannův integrál Lebesgueův integrál a Kurzweilův integrál přes libovolný interval je roven 0
Odkazy
Reference
Související články Charakteristická funkce Peter Dirichlet Riemannova funkce Křivka vyplňující prostor
Externí odkazy
Dirichletova funkce a její modifikace: http://math.feld.cvut.cz/mt/txtb/4/txc3ba4s.htm
Kategorie:Matematické funkce