Haarova míra v matematické analýze je zobecněním Lebesgueovy míry na kompaktní grupy. Na lokálně kompaktní topologické grupě je invariantní mírou jejích podmnožin, a to umožňuje definovat integrál pro funkce na těchto grupách.
Tuto míru zavedl Alfréd Haar v roce 1933, její speciální případ pro Lieovy grupy však definoval již Adolf Hurwitz v roce 1897 pod názvem invariantní integrál.I. M. James, Historii, Topologii, p.186 Haarova míra se používá v mnoha oblastech analýzy, teorie čísel, teorie grup, teorie reprezentací, statistiky, teorie pravděpodobnosti a ergodické teorie.
Levá Haarova míra lokálně kompaktní grupy je regulární borelovská míra , která je invariantní vůči levé translaci a pozitivní na neprázdných otevřených podmnožinách . Invariance vůči levé translaci znamená, že pro každou borelovskou podmnožinu a každý prvek grupy platí , neboli zapsáno pomocí integrálu
pro všechny integrovatelné funkce a všechny prvky grupy .
Analogicky lze definovat pravou Haarovu míru invariantní vůči pravé translaci, tj. . Levá i pravá Haarova míra existují v každé lokálně kompaktní topologické grupě a jsou jednoznačné až na multiplikativní faktor. Pokud se sobě rovnají, což nastává například v případě abelovských grup, nazýváme unimodulární grupou.
Poznámky
Reference
Další literatura Diestel, Joe; Spalsbury, Angela (2014), The joys of Haar measure, Graduate Studies in Mathematics, 150, Providence, RI: American Mathematical Society, , MR 3186070 Loomis, Lynn (1953), An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand and Co.. Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1963), Abstract harmonic analysis. Vol. I: Structure of topological groups. Integration theory, group representations., Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 115, Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag, MR 0156915 Nachbin, Leopoldo (1965), The Haar Integral, Princeton, NJ: D. Van Nostrand André Weil, Basic Number Theory, Academic Press, 1971.
Kategorie:Harmonická analýza Kategorie:Míry (teorie míry) Kategorie:Teorie Lieových grup