Dělení polynomu polynomem se zbytkem je algoritmus dělení polynomu polynomem , kde stupeň je stejný nebo menší než stupeň . Algoritmus je podobný algoritmu dělení se zbytkem.
Mějme dva polynomy a , kde je nenulový. Pak existují polynomy a takové, že
a .
Tyto polynomy jsou určeny jednoznačně. Polynomu se říká částečný podíl, polynom je zbytek při dělení polynomu polynomem .
Stupeň polynomu Stupeň nulového polynomu je roven -1, stupeň nenulového polynomu je roven největšímu takovému, že je nenulové. Stupeň polynomu značíme .
Algoritmus dělení polynomů Algoritmus pro výpočet podílu a zbytku pracuje podobně jako algoritmus pro dělení čísel zapsaných v nějaké soustavě: postupně se dělí nejvyšší člen dělence, vypočítává se prozatímní zbytek a postup se pro něj opakuje, dokud se buď nezastavíme u nejmenšího členu, kde dělení dává smysl, nebo nenajdeme výsledek s nulovým zbytkem.
Ukažme si například, že
Částečný podíl a zbytek po dělení lze nalézt v průběhu provádění následujících kroků:
1. Vydělíme první člen prvního polynomu prvním členem druhého polynomu, umístíme výsledek pod čarou .
2. Vynásobíme dočasný výsledek s dělitelem. Zapíšeme výsledek pod první polynom .
3. Odečteme získaný výsledek z kroku 2 od celého prvního polynomu, zapíšeme výsledek pod čarou .
4. Opakujeme všechny předchozí kroky používajíce jako dělenec výraz pod čarou.
5. Opakujeme krok 4.
6. Algoritmus zde končí.
Znamená to, že polynom je částečný podíl a je zbytek po dělení.
Další algoritmy Jako alternativa se dá použít Hornerova schématu, které je efektivnější.
Dělitelnost polynomů Jestliže zbytek při dělení polynomu polynomem je nulový polynom, říkáme, že polynom dělí polynom , nebo že polynom je dělitelný polynomem , nebo také, že polynom je dělitelem polynomu .
Kořen polynomu Prvek se nazývá kořen polynomu , jestliže platí . Prvek a je kořenem polynomu právě tehdy, když polynom dělí polynom .
Praktické použití Algoritmus se používá například při integrování racionálních lomených funkcí, když se počítá rozklad na parciální zlomky.
Reference
Kategorie:Polynomy Kategorie:Algebra Kategorie:Zlomky