náhled|Spirála znázorňující všechna ordinální čísla menší než ωω. Transfinitní indukce je postup důkazu používaný v teorii množin obdobný jako klasická matematická indukce, ale rozšířený z přirozených čísel na ordinální čísla.
Věty o transfinitní indukci Přestože princip matematické indukce je uváděn jako součást Peanovy axiomatiky přirozených čísel, je třeba jej v axiomatice teorie množin ZF dokázat jako větu, neboť přirozená čísla v ní nejsou elementární pojem, ale je třeba je zkonstruovat. Stejně tak v případě transfinitní indukce se jedná o věty (i když s poměrně snadným důkazem), které poskytují návod, jak při důkazu postupovat:
Verze první Je-li X třída ordinálních čísel, pro kterou platí, že každou svou podmnožinu obsahuje zároveň jako prvek, pak je X shodná s třídou On všech ordinálních čísel.
Verze druhá Pokud je X třída ordinálních čísel, která obsahuje prázdnou množinu, s každým ordinálem zároveň ordinál a pro každý limitní ordinál , který je podmnožinou X platí, že je zároveň prvkem X, pak tato třída X obsahuje všechna ordinální čísla, tj. X = On Jinými slovy pokud platí následující čtyři podmínky, pak X = On:
pro každý limitní ordinál platí
Příklad použití Transfinitní indukce se používá při důkazu značného množství vět z ordinální aritmetiky, mimo jiné například při důkazu, že mocnění na ordinálních číslech je rozšířením mocnění na přirozených číslech:
Důsledkem principu transfinitní indukce je princip transfinitní rekurze, tj. možnost jednoznačně definovat zobrazení na ordinálních číslech předpisem, který využívá pro výpočet -té hodnoty hodnot pro ordinální čísla menší než . (Je tomu obdobně, jako u běžného aritmetického principu matematické indukce, ze kterého vyplývá možnost používat rekurzi na přirozených číslech.)
Související články Transfinitní rekurze Ordinální číslo Ordinální aritmetika Teorie množin Peanova aritmetika Matematická indukce Fundovaná indukce
Kategorie:Druhy matematických důkazů Kategorie:Ordinální čísla