V lineární algebře se čtvercová komplexní matice nazývá normální matice, pokud komutuje se svou hermitovsky sdruženou maticí, tj. pokud má vlastnost:

Reálná matice je proto normální, právě když komutuje se svou transponovanou maticí:

Podle spektrální věty je matice normální, právě když je unitárně diagonalizovatelná (resp. pro reálné matice ortogonálně diagonalizovatelná).

Příklad

Reálná matice je normální, protože:

Reálná matice není normální, protože:

Vlastnosti

Speciálními případy reálných normálních matic jsou symetrické, antisymetrické a ortogonální matice. V komplexním oboru mezi normální matice patří hermitovské, antihermitovské a unitární matice.

Spektrální věta

Matice normální, právě když existují unitární matice a diagonální matice takové, že . Jinými slovy, normální matice jsou unitárně diagonalizovatelné, neboli mají Schurův rozklad s diagonální maticí. Sloupce tvoří ortonormální bázi složenou z vlastních vektorů . Prvky na diagonále jsou vlastní čísla .

Příklady

Vlastní čísla reálné matice mohou být komplexní, a tím pádem i prvky matic a , jak ilustruje příklad:

Pouze pro speciální případ reálné symetrické matice jsou matice i také reálné.

Existují matice, které jsou diagonalizovatelné, ale nejsou normální. Tyto matice nelze unitárně diagonalizovat, neboli mají rozklad , kde je regulární ale nikoli unitární.

Ukázkou takové matice je

Další vlastnosti

Normální matice je unitární, právě když všechna její vlastní čísla (její spektrum) jsou komplexní jednotky.

Normální matice je hermitovská, právě když má všechna vlastní čísla reálná.

Součet ani součin dvou normálních matic nemusí být normální. Pro normální matice, jejichž součin komutuje, však platí následující:

Jsou-li a normální, přičemž , pak jsou normální i matice a . Dále existuje unitární matice taková, že a jsou diagonální matice. Jinými slovy, a jsou současně diagonalizovatelné.

V tomto speciálním případě jsou sloupce vlastními vektory i a tvoří ortonormální bázi v . Jde o kombinaci tvrzení, že nad algebraicky uzavřeným tělesem jsou komutující matice současně triangularizovatelné a že normální matice jsou diagonalizovatelné. Zde je navíc možné obojí provést současně.

Odkazy

Reference

Literatura

Související články

Diagonalizovatelná matice Unitární matice Schurův rozklad

Kategorie:Matice