Cauchyův vzorec, pojmenovaný po Augustinovi-Louisovi Cauchyovi, je důležitý vztah v komplexní analýze. Vyjadřuje skutečnost, že holomorfní funkce definovaná na nějaké oblasti je i se svými derivacemi zcela určena svými hodnotami na hranici této oblasti. Navíc umožňuje hodnotu holomorfní funkce uvnitř oblasti i všechny její derivace v nějakém bodě spočítat, známe-li hodnoty funkce na hranici. Cauchyův vzorec ukazuje, že v komplexní analýze „diferenciace je ekvivalentní integraci“, což v reálné analýze neplatí.
Nechť je otevřená podmnožina komplexní roviny a předpokládejme, že uzavřený disk je definován jako
a je obsažen v . Nechť je holomorfní funkce a nechť je kružnice orientovaná proti směru hodinových ručiček, která tvoří hranici . Pak pro každé ve vnitřku
Důkaz tohoto tvrzení používá Cauchyovu-Goursatovu větu a jako tato věta vyžaduje pouze, aby byla komplexně diferencovatelná. Protože převrácená hodnota jmenovatele integrandu Cauchyho vzorce může být rozepsána jako mocninná řada v proměnné () – konkrétně když , tak
- z toho vyplývá, že holomorfní funkce jsou analytické, tj. mohou být psány jako konvergentní mocninné řady. Takže je nekonečně diferencovatelná a
Tento vzorec je někdy označován jako Cauchyův diferenciační vzorec.
Výše uvedená věta může být zobecněna. Kruh může být nahrazen jakoukoli uzavřenou rektifikovatelnou křivkou v , která jednou obtáčí bod . Navíc stačí požadovat, aby byla holomorfní v otevřené oblasti ohraničené cestou a spojitá na jejím uzávěru.
Ne každá spojitá funkce na hranici ovšem může být použita k vytvoření holomorfní funkce uvnitř této hranice, která odpovídá dané hraniční funkci.
Reference
Kategorie:Komplexní analýza Kategorie:Augustin Louis Cauchy