V lineární algebře a funkcionální analýze je projekce lineární transformace nějakého vektorového prostoru na sebe taková, že . To znamená, že pokud aplikujeme na jakoukoli hodnotu opakovaně, výsledek je stejný, jako kdybychom ji použili jen jednou (je to idempotentní zobrazení, které nemění prostor svých obrazů).Meyer, pp 386+387 Tato definice formalizuje a zobecňuje myšlenku geometrické projekce.
Definice Projekce na vektorovém prostoru je lineární operátor takový, že .
Pokud má skalární součin a je úplný (tj. když je Hilbertův prostor), lze použít pojem ortogonality. Projekce na Hilbertově prostoru se nazývá ortogonální projekce, pokud platí pro všechny . Projekce na Hilbertově prostoru, která není ortogonální, se nazývá šikmá projekce.
Projekční matice V konečnědimenzionálním případě se čtvercová matice nazývá projekční matice, pokud se rovná svému čtverci, tzn . Čtvercová matice se nazývá ortogonální projekční matice, pokud pro reálnou matici, resp pro komplexní matici, kde označuje transponování a označuje hermitovsky sdruženou matici k . Projekční matice, která není ortogonální, se nazývá šikmá projekční matice .
Vlastní hodnoty projekční matice musí být 0 nebo 1.
Příklady
Ortogonální projekce Například funkce, která mapuje bod v trojrozměrném prostoru do bodu , je ortogonální projekce na rovinu určenou souřadnými osami x a y . Tato funkce je reprezentována maticí
Akce této matice na obecný vektor je
Že je skutečně projekce, tj. , dokážeme takto:
.
Jelikož , tak tato projekce je ortogonální.
Šikmá projekce Jednoduchý příklad neortogonální (šikmé) projekce je
Prostřednictvím násobení matic vidíme
To dokazuje, že je opravdu projekce.
Projekce je ortogonální tehdy a jen tehdy, jestliže , protože teprve potom .
Vlastnosti a klasifikace vpravo|rám| Transformace T je projekce podél k na m. Oborem hodnot T je m a nulový prostor je k..
Idempotence Podle definice je každá projekce idempotent (tj ).
Komplementarita oboru hodnot a jádra Nechť je konečnorozměrný vektorový prostor a projekce na . Předpokládejme, že podprostory a jsou obraz a jádro . Pak má následující vlastnosti:
je operátor identity na . Lze psát , tj. každý vektor může být jedinečně rozložen jako , přičemž a , a .
Obraz a jádro projekce jsou komplementární stejně jako jsou komplementární operátory a . Operátor je také projekce, jejíž obraz je jádro , a jeho jádro naopak obrazem .
Spektrum I ve vektorových prostorech nekonečné dimenzí (stejně jako u konečné dimenze) je spektrum projekce obsaženo v množině , jelikož
Pouze 0 nebo 1 může být vlastním číslem projekce, což značí, že je vždy pozitivně semi-definitivní operátor/matice. Odpovídající vlastní prostory jsou jádrem a obrazem projekce. Rozklad vektorového prostoru na přímé součty není obecně jedinečný. Proto k podprostoru může existovat mnoho různých projekcí, jejichž obraz (nebo jádro) je .
Pokud je projekce netriviální, má minimální polynom , který má různé kořeny, a tedy je diagonalizovatelná.
Součin projekcí Součin projekcí není sám obecně projekcí, i když jde o součin ortogonálních projekcí. Pokud projekce komutují, je jejich součin projekcí.
Reference
Kategorie:Lineární algebra Kategorie:Funkcionální analýza Kategorie:Lineární operátory