náhled|upright=2|Graf funkce a plochy mezi funkcí a osou ; tato plocha se rovná
Gaussův integrál, také známý jako Eulerův-Poissonův integrál či Poissonův integrál,Пуассона интеграл , БСЭ je integrál Gaussovy funkce přes celou reálnou osu:
.
Jména tomuto integrálu dali matematici Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler a Siméon Denis Poisson.
Výpočet Integrál Gaussovy funkce označíme :
.
Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme :
.
Součin integrálů odpovídá dvojnému integrálu funkce dvou proměnných, která je součinem původních funkcí:
.
Graf této funkce si lze představit jako kopec nad rovinou s kartézskými souřadnicemi . Integrál představuje objem kopce. Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu polární soustava souřadnic , do kterých se funkci přepíše:
.
Tento integrál už lze jednoduše vyřešit substitucí a jeho hodnota je . Odmocněním rovnice vyjde výsledek:
.
Reference
Literatura Josef Kvasnica: Matematický aparát fyziky, Academia, Praha 1997,
Související články Normální rozdělení Seznam integrálů exponenciálních funkcí Chybová funkce
Kategorie:Integrální počet