upright 2|náhled|Prvních šest Legendrových polynomů Legendrovy polynomy jsou polynomy reálné proměnné definované na intervalu , které popsal Adrien-Marie Legendre roku 1782. Přitom je polynom stupně . Legendrovy polynomy se používají především v matematické fyzice a lze je definovat několika různými vzájemně ekvivalentními způsoby. Jedním z nich je požadovat, aby pro platilo (podmínka vzájemné ortogonality Legendrových polynomů); pro každé platilo (normující podmínka).

Legendrovy polynomy jsou zvláštním případem Gegenbauerových polynomů, které zase jsou zvláštním případem Jacobiho polynomů, jednoho z klasických polynomiálních systémů matematiky. Legendrovy polynomy sudého stupně jsou sudé funkce a Legendrovy polynomy lichého stupně jsou liché funkce.

Prvních několik Legendrových polynomů je:

Vlastnosti

Rodriguesova formule a její důsledky Pro Legendrovy polynomy platí Rodriguesova formule (1818)

jež umožňuje odvodit další vzorce, vyjadřující tyto polynomy explicitně, například

Generující funkce a rekurentní vztah Legendre své polynomy původně definoval pomocí generující funkce, tedy jako koeficienty Taylorova rozkladu:

Derivováním této rovnice podle a algebraickými úpravami lze odvodit Bonnetovu rekurzivní formuli

Legendre své polynomy objevil v souvislosti se studiem Newtonova potenciálu (gravitační potenciál hmotného bodu nebo Coulombův potenciál bodového náboje), který lze rozložit na sumu těchto polynomů:

kde r a r′ jsou délky vektorů x a x′ a γ je úhel mezi těmito vektory. Vyjádření může být užitečné například integrujeme-li potenciál přes spojitou distribuci hmoty nebo náboje.

Legendrova diferenciální rovnice a úplnost Legendrovy polynomy jsou řešeními diferenciální rovnice, pojmenované rovněž po Legendrovi:

Z toho plyne, že tyto polynomy jsou vlastními vektory odpovídajícího diferenciálního operátoru:

z čehož lze dále podle Sturmovy–Liouvilleovy teorie odvodit, že jde o úplný a ortogonální systém polynomů na definičním intervalu.

Jako úplný a ortogonální systém polynomů mají Legendrovy polynomy tyto vlastnosti:

kde je Kroneckerovo delta, rovné jedné, pokud a nule jinak.

Máme-li po částech spojitou funkci na intervalu , tak suma

konverguje v průměru k pro , pokud vezmeme koeficienty jako

Reference

Externí odkazy

Kategorie:Ortogonální polynomy Kategorie:Matematická fyzika