Prostor s mírou je neprázdná množina, ve které chceme měřit délky, obsahy, objemy, případně kvantity, s mírou, jakožto funkcí, která jejím podmnožinám přiřazuje jejich „velikost“. Prostory s mírou jsou základním předmětem zájmu teorie míry, což je odvětví matematiky, které se zabývá zobecněním pojmu objemu.
Na teorii míry je vystavěna moderní„Moderní“ v tomto případě znamená vytvořená na začátku 20. století. teorie integrálu a využívá ji i jeden ze dvou hlavních přístupů k teorii pravděpodobnosti vycházející z pojmu pravděpodobnostní prostor, což je prostor s mírou, která výsledkům náhodného pokusu přiřazuje jejich pravděpodobnosti.
Požadavek na měřitelnost všech podmnožin libovolné množiny může véstPokud předpokládáme platnost axiomu výběru. k Banachově-Tarského paradoxu, proto se používá složitější definice, v níž není vyžadováno, aby všechny podmnožiny byly měřitelné. Podle této definice je prostor s mírou tvořen třemi složkami: množinou , jejíž části chceme měřit, souborem všech měřitelných podmnožin množiny , funkcí přiřazující každé měřitelné množině její „velikost“ – nějakou nezápornou hodnotu, která může být i nekonečná.
Definice Prostor s mírou je uspořádaná trojice , kde je neprázdná množina, je -algebra na množině , je míra na .
Jednoduše lze říci, že prostor s mírou je měřitelný prostor s mírou na .
Příklad Uvažujme množinu . Na konečných množinách bývá -algebra obvykle celá potenční množina značená . Nechť
,
pak lze potenční množinu vypsat výčtem prvků:
a míru definujeme jako:
,
takže (díky aditivitě míry) a (z definice míry).
Tím dostaneme prostor s mírou . Tento prostor je pravděpodobnostním prostorem, protože . Míra odpovídá alternativnímu (Bernoulliho) rozdělení s které se používá například jako model házení poctivou mincí.
Prostory s mírou Konečně měřitelné prostory jsou prostory vybavené konečnou mírou. Pravděpodobnostní prostory jsou konečně měřitelné prostory vybavené pravděpodobnostní mírou, tj. mírou, která množině přiřazuje míru . -konečně měřitelné prostory jsou prostory, jejichž míra je -konečná. Úplně měřitelné prostory jsou prostory vybavené úplnou mírou.
Odkazy Poznámky
Reference
Související články Měřitelný prostor Pravděpodobnostní prostor
Kategorie:Teorie míry