Eulerova rovnice () je obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu tvaru , kde jsou konstanty.
Eulerova diferenciální rovnice je speciálním případem rovnice s proměnnými koeficienty, kterou lze substitucí převést na lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty řešitelnou explicitně. Alternativně lze zkoušet řešení tvaru .
Rovnice druhého řádu náhled|320px|vpravo|Typické křivky řešení pro Eulerovu rovnici druhého řádu pro případ dvou reálných kořenů náhled|320px|vpravo|Typické křivky řešení pro Eulerovu rovnici druhého řádu pro dvojnásobný kořen náhled|320px|vpravo|Typické křivky řešení pro Eulerovu rovnici druhého řádu pro vícenásobné kořeny Nejobvyklejší Eulerovou rovnicí je rovnice druhého řádu, která se objevuje v několika aplikacích ve fyzice a strojírenství, například při řešení Laplaceovy rovnice v polární souřadnicích. Je dána rovnice:
Řešení pomocí zkušebních řešení Zkoušíme řešení tvaru
Zderivováním dostaneme:
a
Dosadíme do původní rovnice:
A upravíme na:
Tuto rovnici řešíme pro proměnnou m. Existují tři odlišné zajímavé případy:
Případ 1: Dva různé reálné kořeny m1 a m2 Případ 2: Jeden reálný vícenásobný kořen m Případ 3: Komplexní kořeny α ± βi
V případě 1 má Eulerova rovnice řešení
V případě 2 má Eulerova rovnice řešení
Pro získání tohoto řešení je nutné po nalezení jednoho řešení y = xm použít metodu redukce řádu.
V případě 3 má Eulerova rovnice řešení
Pro a v reálné rovině
Tento tvar řešení odvodíme položením x = et a použitím Eulerova vzorce.
Řešení pomocí substituce V rovnici
provedeme substituci proměnné definovanou vztahem
Po zderivování:
Substituce dává
Tato rovnice pro může být snadno vyřešena pomocí svého charakteristického polynomu
Nyní jestliže a jsou kořeny tohoto polynomu, rozlišujeme dva hlavní případy: různé kořeny a dvojité kořeny:
Jestliže má rovnice různé kořeny, obecné řešení je dáno vztahem
, kde exponenciální funkce mohou být komplexní.
Jestliže kořeny jsou si rovné, obecné řešení je dáno vztahem
V obou případech lze řešení nalézt tak, že položíme , tedy .
To dává v prvním případě ,
ve druhém případě
Příklad Řešíme rovnici
nahradíme jednoduché řešení xα:
Aby xα bylo řešení, platí buď x = 0, což dává triviální řešení, anebo koeficient u xα je nula. Řešením kvadratické rovnice dostaneme α = 1, 3. Obecné řešení je proto
Obdoba v diferenčních rovnicích Eulerovy rovnice má obdobu v diferenčních rovnicích. Pro pevné m > 0, definujeme posloupnost ƒm(n) jako
Použitím diferenčního operátoru na dostaneme, že
Jestliže tento postup opakujeme k-krát, dostaneme
kde horní index (k) znamená k-násobné použití diferenčního operátoru. Srovnání tohoto s faktem, že k-tá derivace xm se rovná
nabízí možnost řešit diferenční rovnice N-tého řádu
podobným způsobem jako diferenciální rovnice. Skutečně substituce zkušebního řešení
dává stejný výsledek jako diferenciální rovnice
Nyní můžeme pokračovat jako v případě diferenciální rovnice, protože obecné řešení lineární diferenční rovnice N-tého řádu je také lineární kombinací N lineárně nezávislých řešení. Použitím redukce řádu v případě více kořenů m1 dostaneme výrazy obsahující diskrétní verzi funkce ln,
(Srovnejte s: )
Pokud se vyskytnou zlomky, lze místo výše uvedeného použít funkci gama:
což se shoduje s výše uvedenou definicí pro celočíselné m.
Reference
Bibliografie Cauchy-Euler equation Weisstein, Eric W, na webu Mathworld
Související články Hypergeometrická diferenciální rovnice Cauchyův–Eulerův operátor Diferenciální rovnice Variační počet
Externí odkazy Obyčejné diferenciální rovnice vyššího řádu (pdf): http://is.muni.cz/…/DP_orig.pdf
Kategorie:Obyčejné diferenciální rovnice Kategorie:Diferenciální počet Kategorie:Rovnice rovnice, Eulerova