Přesněji funkce polospojitá shora a funkce polospojitá zdola jsou pojmy používané v matematické analýze. Jsou to vlastnosti reálných funkcí, které jsou slabší než spojitost, nicméně dány dohromady již spojitost implikují. Každá z nich je tedy sama o sobě jen „půl spojitosti“. Funkce je shora polospojitá v bodě , pokud pro body blízké bodu není o moc větší než . Funkce je zdola polospojitá v bodě , pokud pro body blízké bodu není o moc menší než .
Definice náhled|vpravo|Shora polospojitá funkce. Funkce , kde je topologický prostor, je shora polospojitá v bodě , pokud pro každé dostatečně malé existuje okolí bodu tak, že pro každé platí .
Funkce je shora polospojitá v , jestliže je shora polospojitá v každém bodě . Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru otevřené.
Ekvivalentně můžeme říci, že je shora polospojitá v bodě , pokud .
náhled|vpravo|Zdola polospojitá funkce. Funkce , kde je topologický prostor, je zdola polospojitá v bodě , pokud pro každé existuje okolí bodu tak, že pro každé platí .
Funkce je zdola polospojitá v , jestliže je zdola polospojitá v každém bodě . Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru otevřené.
Ekvivalentně můžeme říci, že je zdola polospojitá v bodě , pokud .
Vlastnosti Nerovnost ukazuje, že pokud je v bodě polospojitá shora i zdola, je již v bodě spojitá. Funkce , která je shora polospojitá na kompaktním prostoru , je již nutně shora omezená na a má na maximum. Funkce , která je zdola polospojitá na kompaktním prostoru , je již nutně zdola omezená na a má na minimum. Protože , je supremum libovolného systému zdola polospojitých funkcí opět zdola polospojité. Protože , je infimum libovolného systému shora polospojitých funkcí opět zdola polospojité. Naopak supremum shora polospojitých (nebo dokonce spojitých) funkcí nemusí být shora polospojité, jak ukazuje příklad .
Příklady Charakteristická funkce otevřené množiny je zdola polospojitá. Charakteristická funkce uzavřené množiny je shora polospojitá. Norma na Banachově prostoru je slabě polospojitá zdola (tedy zdola polospojitá na topologickém prostoru ). Je-li dimenze nekonečná, norma nemůže být slabě polospojitá shora, tedy ani slabě spojitá.
Odkazy
Poznámky
Související články Spojitá funkce
Externí odkazy
Kategorie:Matematická analýza