vpravo|náhled|Hendrik Antoon Lorentz (1853–1928), po němž je pojmenována Lorentzova grupa Lorentzova grupa je ve fyzice a matematice grupa všech Lorentzových transformací Minkowského prostoru, klasické i kvantové prostředí všech (negravitačních) fyzikálních jevů. Lorentzova grupa je pojmenována po nizozemském fyzikovi Hendriku Lorentzovi.
K zákonům, rovnicím a teoriím, které respektují Lorentzovy symetrie, patří např.: kinematické zákony speciální teorie relativity Maxwellovy rovnice pole v teorii elektromagnetismu Diracova rovnice v teorii elektronu Standardní model fyziky částic
Lorentzova grupa vyjadřuje základní symetrii prostoru a času všech známých základních přírodních zákonů. Fyzikální zákony jsou Lorentzovským invariantem také v relativistické fyzice v případech uvažujících dostatečně malé oblasti prostoročasu, kde jsou gravitační variance zanedbatelné, a ve speciální teorii relativity.
Základní vlastnosti Lorentzova grupa je podgrupou Poincarého grupy – grupy všech izometrií Minkowského prostoru. Lorentzovy transformace jsou právě ty izometrie, které ponechávají počátek souřadnicového systému pevný. Lorentzova grupa je tedy podgrupa izotropie grupy izometrií Minkowského prostoročasu. Z tohoto důvodu se Lorentzova grupa někdy nazývá homogenní Lorentzova grupa zatímco Poincarého grupa je někdy nazývaný nehomogenní Lorentzova grupa. Lorentzovy transformace jsou příklady lineárních transformací; obecné izometrie Minkowského prostoročasu jsou afinními zobrazeními. Lorentzova grupa může být matematicky popsána jako Neurčitá ortogonální grupa O(1,3), Lieova grupa, která zachovává kvadratickou formu
na R4. Tato kvadratická forma je, když ji převedeme na maticový tvar (viz klasická ortogonální grupa), interpretována ve fyzice jako metrický tenzor prostoročasu Minkowského.
Lorentzova grupa je šestirozměrná nekompaktní neabelovská Lieova grupa, která není souvislá. Čtyři souvislé komponenty nejsou jednoduše souvislé. komponenta identity (tj. komponenta obsahující identitu) Lorentzovy grupy je sama grupou a často se nazývá omezená Lorentzova grupa a značí se SO+(1,3). Omezená Lorentzova grupa sestává z těch Lorentzových transformací, které zachovávají orientaci prostoru a směr času. Jeho fundamentální grupa má řád 2 a jeho univerzální pokrytí, Neurčitá spinová grupa Spin(1,3), je izomorfní jak se speciální lineární grupou SL(2, C) tak se symplektickou grupou Sp(2, C). Tyto izomorfismy umožňují použití Lorentzovy grupy ve velkém množství matematických struktur důležitých pro fyziku, především pro spinory. V relativistické kvantové mechanice a v kvantové teorii pole, je obvyklé nazývat SL(2, C) Lorentzovou grupou, s chápat, že SO+(1,3) je její vektorová reprezentace. S grupou SL(2, C) jsou také izomorfní bikvaterniony používané v geometrické algebře, .
Omezená Lorentzova grupa také se objevuje jako bodová grupa symetrií určité obyčejné diferenciální rovnice.
Souvislé komponenty vpravo|náhled|Světelný kužel ve dvojrozměrném prostoru s jednou časovou dimenzí Díky tomu, že Lorentzova grupa O(1,3) je Lieovou grupou, je jednak grupou a zároveň připouští topologický popis jako hladké variety. Jako varieta má čtyři souvislé komponenty. Intuitivně to znamená, že sestává ze čtyř topologicky oddělených částí.
Čtyři souvislé komponenty lze klasifikovat dvěma transformačními vlastnostmi, které mají jejich prvky mít: Některé prvky jsou při Lorentzových transformacích invertujících čas obráceny, například Minkowského prostor ukazující do budoucnosti je invertován na vektor ukazující do minulosti Některé prvky mají obrácenou orientaci kvůli nevlastní Lorentzově transformaci, například určité tetrády (vierbein)
Lorentzovy transformace, které zachovávají směr času, se nazývají ortochronní. Podgrupa ortochronních transformací se často označuje O+(1,3). Transformace, které zachovávají orientaci, se nazývají vlastní, a jako lineární transformace mají determinant +1. (Nevlastní Lorentzovy transformace mají determinant −1.) Podgrupa vlastních Lorentzových transformací se označuje SO(1,3).
Podgrupa všech Lorentzových transformací zachovávajících orientaci i směr času se nazývá vlastní, ortochronní Lorentzova grupa nebo omezená Lorentzova grupa a značí se symbolem SO+(1, 3). (Někteří autoři používají označení SO(1,3) nebo dokonce O(1,3) pro SO+(1, 3).)
Množinu čtyř souvislých komponent lze považovat za grupu jako faktorovou grupu O(1,3)/SO+(1,3), která je izomorfní s Kleinovou čtyřgrupou. Každý prvek v O(1,3) lze zapsat jako semidirektní součin vlastní, ortochronní, transformace a prvku diskrétní grupy {1, P, T, PT}
kde P a T jsou operátory parity a obrácení toku času: P = diag(1, −1, −1, −1) T = diag(−1, 1, 1, 1).
Libovolnou Lorentzovu transformaci lze tedy zadat jako vlastní, ortochronní, Lorentzovu transformaci spolu s dalšími dvěma bity informace, které vybírají jednu ze čtyř souvislých komponent. Tato struktura je typická pro konečněrozměrné Lieovy grupy.
Omezená Lorentzova grupa Omezená Lorentzova grupa je komponenta identity Lorentzovy grupy, což znamená, že sestává ze všech Lorentzových transformací, které lze zapojit do identity spojitou křivkou ležící v grupě. Omezená Lorentzova grupa je souvislá normální podgrupa úplné Lorentzovy grupy se stejným počtem rozměrů, v tomto případě se šesti rozměry.
Omezená Lorentzova grupa je generovaná obyčejnými prostorovými rotacemi a Lorentzovými transformacemi (které jsou rotacemi v hyperbolickém prostoru, který obsahuje časupodobný směr Varićak V 1910 „Teorie relativity a Lobačevského geometrie“,Phys Z 1910 §3 'Lorentz-Einstein transformace jako překlad/translace'. Engl.tr v Wikipedia). Protože každou vlastní, ortochronní Lorentzovu transformaci lze zapsat jako součin rotací (daných třemi reálnými parametery) a boost (také daných třemi reálnými parametry), je třeba 6 reálných parametrů pro zadání libovolné vlastní ortochronní Lorentzovy transformace. To je jeden z důvodů, proč je omezená Lorentzova grupa šestirozměrná. (Viz také Lieova algebra Lorentzových grup.)
Množina všech rotací vytváří Lieovu grupu izomorfní s obyčejnou rotační grupou SO(3). Množina všech boostů však netvoří podgrupu, protože složení dvou boostů obecně nevede k jinému boostu. (Místo toho je dvojice nekolineárních boostů ekvivalentní s boostem a rotací a toto se týká Thomasovy rotace.) Boost v nějakém směru nebo rotace kolem nějaké osy, generuje jednoparametrickou podgrupu.
Povrchy tranzitivity Pokud grupa působí na prostor , pak povrch je povrch tranzitivity, pokud je invariantní při , tj. a pro jakýkoli dva body existuje tak, že . Podle definice Lorentzovy grupy zachovává kvadratickou formu
Povrchy tranzitivity ortochronní Lorentzovy grupy , prostoročasu jsou následující: je horní část hyperboloidu se dvěma povrchy. Body na této části jsou od počátku souřadnicového systému odděleny budoucím časoprostorovým vektorem. je spodní část tohoto hyperboloidu. Body na této části jsou minulé časoprostorové vektory. je horní část světelného kužele, budoucí světelný kužel. je spodní část světelného kužele, minulý světelný kužel. je hyperboloid tvořený jedním povrchem. Body na této ploše jsou časoprostorově odděleny od počátku souřadnicového systému. Počátek souřadnicového systému .
Tyto povrchy jsou trojrozměrné, takže obrázky nejsou věrné, ale věrně odpovídají faktům o . Pro úplnou Lorentzovu grupu jsou povrchy tranzitivity pouze čtyři, protože transformace změní horní část hyperboloidu (kuželu) na dolní a naopak.
Tato pozorování představují dobrý počátek pro hledání všech nekonečnědimenzionálních unitárních reprezentací Lorentzovy grupy, respektive Poincarého grupy, pomocí metody indukované reprezentace. Začneme se „standardním vektorem“, jeden pro každý povrch tranzitivity a pak se práme, která podgrupa zachovává tyto vektory. Tyto podgrupy fyzikové nazývají akce grupy na množině. Problém pak je v zásadě redukovaný na snazší problém hledání reprezentací malých grup. Například standardní vektor v jednom z ramen hyperboly lze vhodně zvolit jako . Pro každé prochází vektor právě jednou částí (plochou). V tomto případě je malá grupa , ortogonální grupa, jejíž všechny reprezentace jsou známy. Přesná nekonečněrozměrná unitární reprezentace, při které transformace částic jsou částí své klasifikace. Ne všechny reprezentace mohou odpovídat fyzikálním částicím (pokud víme). Standardní vektory na hyperbolách s jednou částí by odpovídaly tachyonům. Částice na světelném kuželu jsou fotony a hypotetické gravitony. „Částicí“ odpovídající počátku souřadnicového systému je vakuum.
Homomorfismy a izomorfismy
Omezená Lorentzova grupa SO+(1, 3) je homomorfní nebo izomorfní s několika dalšími grupami. Tyto homomorfismy hrají klíčovou roli v objasňování různých jevů ve fyzice.
Speciální lineární grupa SL(2,C) je dvojitým pokrytím Lorentzovy grupy. Tento vztah je velmi používaný pro vyjadření Lorentzovské kovariance Diracovy rovnice a kovariance spinorů. Symplektická grupa Sp(2,C) je izomorfní s SL(2,C); používá se pro konstrukci Weylových spinorů, i pro vysvětlení, jak mohou mít spinory hmotnost. Spinová grupa Spin(1,3) je izomorfní s SL(2,C); používá se pro vysvětlení spinu a spinorů v pojmech Cliffordovy algebry, tedy objasnění, jak zobecnit Lorentzovu grupu na obecný případy v Riemannově geometrii, včetně teorie supergravitace a teorie strun. Omezená Lorentzova grupa je izomorfní s projektivní grupou PSL(2,C), která je zase izomorfní s Möbiovou grupou, což je grupa symetrií konformní geometrie na Riemannově sféře. Tento vztah je klíčový pro klasifikaci podgrup Lorentzovy grupy podle staršího klasifikačního schématu vyvinutého pro Möbiovu grupu.
Weylova reprezentace Weylova reprezentace nebo spinorové zobrazení je dvojice surjektivních homomorfismů SL(2,C) na SO+(1,3), které při transformacích parity tvoří srovnaný pár, odpovídající levému a pravému chirálnímu spinoru.
Na Minkowského prostoročasu můžeme definovat akci SL(2,C) tak, že bod prostoročasu vyjádříme hermitovskou maticí 2×2 ve tvaru
pomocí Pauliho matic. Tato Weylova prezentace vyhovuje vztahu
Proto máme identifikovaný prostor Hermitovské matice (který je čtyřrozměrný, stejně jako reálný vektorový prostor) s prostoročasem Minkowského takovým způsobem, že determinant Hermitovské matice je druhá mocnina délky odpovídajícího vektoru v Minkowského prostoročasu. Prvek působí na prostoru Hermitovských matic přes
kde je Hermitovská transpozice . Tato akce zachovává determinant, a proto SL(2,C) působí na Minkowského prostoročasu jako (lineární) izometrie. Tvar s obrácenou paritou je
který se transformuje jako
Že jde o korektní transformaci, vyplývá z toho, že
zůstává invariantní vůči výše uvedené dvojici transformací.
Tato zobrazení jsou surjektivní a jádro každého z nich je dvouprvková podgrupa ±I. Díky první větě o isomorfismu je podílová grupa PSL(2,C) = SL(2,C) / {±I} izomorfní s SO+(1,3).
Zobrazení parity tato dvě pokrytí prohazuje. To znamená, že Hermitovská konjugace je automorfismus Tyto dvě různá pokrytí odpovídají dvěma různým chiralitním akcím Lorentzovy grupy na spinorech. Tvar bez pruhu odpovídá pravostranné spinorové transformaci zatímco tvar s pruhem odpovídá levostranné spinorové transformaci
Je důležité si všimnout, že tento pár pokrytí není zachován při kvantizaci; což vede ke zvláštnímu jevu chirální anomálie. Kvantizace porušuje klasické (tj. nekvantizované) symetrie Lorentzovy grupy; to říká Atiyahova–Singerova indexová věta.
Konvence značení V fyzice se Lorentzova transformace obvykle značí jako tedy používat matici s prostoročasovými indexy Čtyřvektor lze z Pauliho matice vytvořit dvěma způsoby: jako a jako které se vztahují k paritní transformaci. Pamatujte, že
Je-li dána Lorentzova transformace pak dvojité pokrytí ortochronní Lorentzovy grupy uvedené výše lze zapsat jako
Zanedbáním dostaneme tvar
Paritně konjugovaný tvar je
Důkaz