Hermitovy polynomy jsou v matematice klasická posloupnost ortogonálních polynomů.
Hermitovy polynomy se objevují: ve zpracování signálu jako Hermitovské vlnky pro analýzu vlnkovou transformací v pravděpodobnosti, jako například Edgeworthova řada nebo v souvislosti s Brownovým pohybem; v kombinatorice, jako příklad Appellovy posloupnosti, která řídí stínový počet; v numerické matematice jako Gaussovo kvadraturní pravidlo; ve fyzice, kde popisují kvantové stavy kvantového harmonického oscilátoru; v teorii systémů ve spojení s nelineárními operacemi na gaussovském šumu. v náhodných maticích v gaussovských náhodných maticích.
Hermitovy polynomy definoval (i když v sotva rozpoznatelném formě) Pierre-Simon Laplace v roce 1810; (online). vydané v Œuvres complètes VII. detailně je zkoumal Pafnutij Lvovič Čebyšev v roce 1859. vydané v Œuvres I, 501–508. Čebyševova práce však byla přehlížena a polynomy byly později pojmenovány po Charlesu Hermitovi, který je popsal jako nové v roce 1864. vydané v Œuvres II, 293–303. Hermite tyto polynomy tedy neobjevil jako první, ale ve svém pozdějším díle z roku 1865 definoval vícerozměrné polynomy.
Definice Hermitovy polynomy je možné definovat stejně jako jiné klasické ortogonální polynomy několika způsoby. Je třeba si uvědomit, že existují dvě různé definice, přičemž obvyklejší je tato:
„pravděpodobnostní Hermitovy polynomy“ jsou dány vzorcem
zatímco „fyzikální Hermitovy polynomy“ jsou dány vzorcem
Tyto rovnice mají tvar Rodriguesova vzorce a zapisují se také jako
tyto dvě definice ovšem nejsou přesně identické; liší se použitím jiného měřítka:
Tyto posloupnosti Hermitových polynomů se liší rozptylem; viz výklad o variancích níže.
Obvykle se pravděpodobnostní a fyzikální Hermitovy polynomy rozlišují značením a , a Abramowitz & Stegun. v teorii pravděpodobnosti se však často místo používá , protože
je hustota pravděpodobnosti pro normální rozdělení se střední hodnotou 0 a směrodatnou odchylkou 1.
náhled|vpravo|390px|Prvních šest pravděpodobnostních Hermitových polynomů
Prvních jedenáct pravděpodobnostních Hermitových polynomů:
náhled|vpravo|390px|Prvních šest (fyzikálních) Hermitových polynomů
Prvních jedenáct fyzikálních Hermitových polynomů:
Vlastnosti Hermitův polynom -tého řádu je polynom stupně . Pravděpodobnostní verze má vedoucí koeficient 1, zatímco fyzikální verze má úvodní koeficient .
Symetrie Z Rodriguesova vzorce uvedeného výše je vidět, že a jsou sudé nebo liché funkce podle :
Ortogonalita a jsou polynomy -tého stupně pro . Tyto polynomy jsou ortogonální vzhledem k váhové funkci (míře)
nebo
tj. máme
a navíc
nebo
kde je Kroneckerovo delta.
Pravděpodobnostní polynomy jsou tedy ortogonální vzhledem ke standardní normální hustotě pravděpodobnosti.
Úplnost Hermitovy polynomy (jak pravděpodobnostní tak fyzikální) tvoří ortogonální bázi Hilbertova prostoru funkcí, které splňují
ve kterém je vnitřní součin definován integrálem
kde je gaussovská váhová funkce definovaná v předchozí části.
Ortogonální báze pro tvoří úplný ortogonální systém. Pro ortogonální systém je úplnost ekvivalentní se skutečností, že nulová funkce je jedinou funkcí , která je ortogonální se všemi funkcemi v systému.
Protože lineárním obalem Hermitových polynomů je prostor všech polynomů, pro důkaz úplnosti (pro fyzikální polynomy) stačí dokázat, že pokud splňuje
pro každé , pak .
Jedním ze způsobů, jak to udělat, je uvědomit si, že celá funkce
bude mít nulovou hodnotu identicky. Skutečnost, že pak bude pro každé reálné znamená, že Fourierova transformace je 0, a tedy že je 0 skoro všude. Varianty výše uvedeného důkazu úplnosti platí i pro jiné váhy s exponenciálním poklesem.
V Hermitově případě je možné dokázat i explicitní identitu, která implikuje úplnost (viz část na Relace úplnosti níže).
Ekvivalentně lze fakt, že Hermitovy polynomy jsou ortogonální bází pro , formulovat zavedením Hermitových funkcí (viz níže) a ukázáním, že jsou ortonormální bází pro .
Hermitova diferenciální rovnice Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy jsou řešením diferenciální rovnice
kde je konstanta. Zavedením okrajové podmínky, že funkce musí být v nekonečnu polynomiálně omezená, má rovnice řešení, pouze pokud je nezáporné celé číslo, a pak je řešení jednoznačně dáno , kde je konstanta.
Přepsáním diferenciální rovnice jako problém vlastních hodnot
Hermitovy polynomy je možné chápat jako vlastní funkce diferenciálního operátoru . Tento problém vlastní hodnoty se nazývá Hermitova rovnice, i když tento termín se také používá pro blízce příbuzné rovnice
jejichž řešení lze, po stanovení okrajové podmínky, že musí být polynomiálně omezená v nekonečnu, jednoznačně vyjádřit pomocí fyzikálních Hermitových polynomů ve tvaru , kde je konstanta.
Obecné řešení výše uvedené diferenciální rovnice druhého řádu je vlastně lineární kombinací obou Hermitových polynomů a konfluentní hypergeometrické funkce prvního druhu. Například pro fyzikální Hermitovu rovnici
má obecné řešení tvar
kde a jsou konstanty, jsou fyzikální Hermitovy polynomy (prvního druhu) a jsou fyzikální Hermitovy funkce (druhého druhu). Tyto funkce lze kompaktně reprezentovat jako kde jsou konfluentní hypergeometrické funkce prvního druhu. Obvyklé Hermitovy polynomy lze také vyjádřit pomocí konfluentních hypergeometrických funkcí, viz níže.
S obecnějšími okrajovými podmínkami je možné zobecnit Hermitovy polynomy pro získání obecnějších analytických funkcí pro komplexní . Explicitní vzorec Hermitových polynomů pomocí křivkových integrálů je také možné.
Rekurentní vzorec Posloupnost pravděpodobnostních Hermitových polynomů také vyhovuje diferenční rovnici
Vztah jednotlivých koeficientů popisuje následující rekurentní vzorec:
a , , .
Pro fyzikální polynomy, předpokládá
máme
Vztah jednotlivých koeficientů popisuje následující rekurentní vzorec:
a , , .
Hermitovy polynomy tvoří Appellovu posloupnost, tj. jsou posloupností polynomů, která vyhovuje rovnici
Ekvivalentně, podle Taylorova rozvoje,
Tyto identity stínového počtu jsou evidentní a obsažené v reprezentaci diferenciálním operátorem rozebrané níže
V důsledku pro -tou derivaci platí:
Odtud plyne, že Hermitovy polynomy také vyhovují diferenční rovnici
Tyto poslední vzorce se spolu s počátečními polynomy a používají v praxi pro rychlé vyčíslení hodnoty polynomů.
Platí Turánovy nerovnosti:
a následující multiplikační věta:
Explicitní vyjádření Fyzikální Hermitovy polynomy je možné psát explicitně jako
Tyto dvě rovnice je možné zkombinovat do jedné pomocí funkce celá část:
Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy mají podobné vzorce, které je možné získat z těchto nahrazením mocniny odpovídající mocninou a znásobením celého součtu výrazem :
Inverzní explicitní výraz Inverzí výše uvedených explicitních výrazů, tj. výrazů pro jednočleny v členech pravděpodobnostních Hermitových polynomů jsou
Odpovídající výrazy pro fyzikální Hermitovy polynomy zjistíme přímo správnou změnou měřítka takto:
Vytvořující funkce Hermitovy polynomy lze zadat vytvořující funkcí
Tato rovnost je platná pro všechny komplexní hodnoty a a je možné ji získat zapsáním Taylorova rozvoje v celé funkce (ve fyzikálním případě). Můžeme také odvodit (fyzikální) vytvořující funkce pomocí Cauchyův vzorec zapsat Hermitovy polynomy jako
Dosazením do součtu
je možné vyhodnotit zbývající integrál pomocí reziduového počtu a tak získat požadovanou vytvořující funkci.
Střední hodnoty Pokud je náhodná veličina s normálním rozdělením se standardní odchylkou 1 a střední hodnotou , pak
Momenty standardního normálního rozdělení (se střední hodnotou nula) je možné číst přímo z relace pro sudé indexy:
kde je dvojitý faktoriál. Pamatujte, že výše uvedený výraz je speciálním případem reprezentace pravděpodobnostních Hermitových polynomů jako momentů:
Asymptotický rozvoj Asymptoticky pro , lze použít rozvoj, 13.6.38 a 13.5.16.
Pro určité případy zabývající se širším rozsahem vyhodnocování je nutné zahrnout faktor pro změnu amplitudy:
což lze, pomocí Stirlingova vzorce dále zjednodušit; v limitě na
Toto rozvoj je potřebný pro řešení vlnové funkce kvantového harmonického oscilátoru tak, že souhlasí s klasickou aproximací v limitě principu korespondence.
Lepší aproximaci, která odpovídá za variaci ve frekvenci, popisuje vztah
Jemnější aproximace, která bere v úvahu nestejný odstup kořenů blízko hrany, používá substituci
se kterou máme rovnoměrnou aproximaci
Podobná aproximace platí pro monotonní a přechod oblasti. Konkrétně pokud
pak
zatímco pro
s komplerxním a omezeným je aproximace
kde je Airyho funkce prvního druhu.
Speciální hodnoty Fyzikální Hermitovy polynomy vyčíslené v bodě nula se nazývají Hermitova čísla.
což vyhovuje rekurentnímu vzorci .
V členech pravděpodobnostních polynomů se převádí na
Vztahy k jiným funkcím
Laguerrovy polynomy Hermitovy polynomy lze vyjádřit jako speciální případ Laguerrových polynomů:
Vztah ke konfluentním hypergeometrickým funkcím Fyzikální Hermitovy polynomy je možné vyjádřit jako speciální případ parabolických válcových funkcí:
v pravé polorovině, kde je Tricomiho konfluentní hypergeometrické funkce. Podobně
kde je Kummerova konfluentní hypergeometrické funkce.
Reprezentace diferenciálním operátorem Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy vyhovují vztahu
kde reprezentuje derivaci podle a exponenciální funkce je interpretována svým rozvojem na mocninnou řadu. O konvergenci této řady aplikované na polynomy není pochyb, protože všechny členy až na konečný počet zanikají.
Protože koeficienty mocninné řady exponenciální funkce jsou známé a derivace vyššího řádu jednočlenu je možné zapsat explicitně, tato reprezentace diferenciálním operátorem dává konkrétní vzorec pro koeficienty , který lze použít pro rychlý výpočet těchto polynomů.
Protože formální výraz pro Weierstrassovu transformaci je , vidíme, že Weierstrassova transformace je . Weierstrassova transformace tedy v zásadě převádí řadu Hermitových polynomů na odpovídající Taylorovu řadu.
Existence nějaké formální mocninné řady s nenulovým konstantním koeficientem, takové, že , je dalším ekvivalentem tvrzení, že tyto polynomy tvoří Appellovu posloupnost. Protože jsou Appellovou posloupností, jsou také Shefferovou posloupností.
Reprezentace křivkovým integrálem Z reprezentace generující funkce uvedené výše, vidíme, že Hermitovy polynomy lze reprezentovat pomocí křivkový integrál, protože
s křivkou obkružující počátek souřadnicového systému.
Zobecnění Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy definované výše jsou ortogonální vůči standardnímu normálnímu rozdělení pravděpodobnosti, jehož hustota je
a které má střední hodnotu 0 a rozptyl 1.
Při změně měřítka je možné obdobně mluvit o zobecněných Hermitových polynomech
s rozptylem , kde je jakékoli kladné číslo. Tyto jsou pak ortogonální vzhledem k normální rozdělení pravděpodobnosti, jejíž hustota je
Jsou daný
Nyní, pokud
pak posloupnost polynomů, jejíž -tý člen je
se nazývá stínová kompozice dvou posloupností polynomů. Lze dokázat, že vyhovuje identitám
a
Poslední vztah lze vyjádřit tím, že řekneme, že tato parametrizovaná rodina posloupností polynomů je známá jako křížová posloupnost. (Viz výše uvedená část o Appellových posloupnostech a o reprezentaci diferenciálním operátorem, která vede k její připravené derivaci. Tento vztah identity binomického typu pro jsme již zaznamenali ve výše uvedené části o rekurentních vzorcích.)
„Záporný rozptyl“ Protože posloupnosti polynomů tvoří grupu s operací stínové kompozice, je možné pomocí
zapsat posloupnost, která je inverzní k podobně označené posloupnosti, ale bez znaménka minus, proto mluvíme o Hermitových polynomech se záporným rozptylem. Pro jsou koeficienty pouze absolutními hodnotami odpovídajících koeficientů .
Tyto koeficienty se objevují jako momenty normálního rozdělení pravděpodobnosti: -tý moment normálního rozdělení se střední hodnotou a rozptylem je