Laplaceova metoda je technika pro asymptotické aproximace Laplaceových integrálů, tedy přibližný výpočet integrálů ve tvaru
Meze a mohou nabývat hodnot .
Čím větší je tím je aproximace přesnější. Speciálním případem těchto integrálů je Laplaceova transformace. Metoda je pojmenována podle francouzského matematika Pierra-Simona Laplaceho, který ji publikoval v roce 1774.
Zobecněním metody na komplexní čísla je metoda největšího spádu.
Tvrzení Nechť a existuje ostré minimum (tedy a ). Dále platí . Pak platí
nebo v terminologii asymptotické analýzy .
Odvození Základní myšlenka je následující:
Největší příspěvek k hodnotě integrálu pochází z bodů v okolí .
Za předpokladu, že je velmi velké, můžeme integrál vyjádřit takto:
Funkci v bodě vyjádříme pomocí Taylorova rozvoje:
Tedy můžeme aproximovat
Odtud plyne
Pokud by v integrálu na pravé straně byly integrační meze šlo by o Gaussův integrál; díky tomu, že hodnota exponenciální funkce při odchýlení od klesá velmi rychle, můžeme použít jeho hodnotu:
Odkazy
Reference
Literatura
Kategorie:Integrální počet Kategorie:Matematická analýza