Jacobiho metoda (též Jacobiova metoda) je v lineární algebře iteračním algoritmem pro numerické řešení soustavy lineárních rovnic. Je založena na rozkladu matice soustavy na součet dvou komponent, z nichž jedna je diagonální a je díky tomu snadné určit její inverzní matici. V nematicové formulaci postup odpovídá tomu, že v každé iteraci se použitím přibližných hodnot řešení z každé rovnice vypočítá diagonální prvek, který představuje novou iteraci a přesnější odhad řešení. Metoda je pojmenována po Carlu Gustavu Jacobim.
Princip metody Nechť
je soustava n lineárních rovnic o n neznámných, kde:
Potom lze A rozložit na diagonální složku D a složku N s nulami v hlavní diagonále.
Rovnici je potom možno přepsat do tvaru
tj.
Řešení této úlohy je potom možno v některých případech (viz níže podmínka konvergence) získat iterací vztahu
kde je k-tá iterace a je další iterace . Po rozepsání na jednotlivé prvky mají iterace tvar
Konvergence metody Postačující podmínkou pro konvergenci metody je, že matice A je řádkově ostře diagonálně dominantní. To znamená, že pro každý řádek je absolutní hodnota diagonálního členu větší než součet absolutních hodnot ostatních členů:
Tato podmínka není nutná. Jacobiho metoda může konvergovat i pro matice, které tuto podmínku nesplňují.
Příklad v nematicové formulaci Řešení soustavy
spočívá v nalezení hodnoty z první rovnice, přičemž ostatní neznámé nabývají hodnoty zvolené počáteční iterací. Z druhé rovnice se podobně určí hodnota atd.
Pro počáteční iteraci je další iterace
Toto je další odhad řešení. Postup se opakuje a v tabulce jsou shrnuta přibližná řešení po pěti iteracích. 0,6 2,27272 -1.1 1,875 1,04727 1,7159 -0,80522 0,88522 0,93263 2,05330 -1,0493 1,13088 1,01519 1,95369 -0,9681 0,97384 0,98899 2,0114 -1,0102 1,02135 Přesné řešení soustavy je .
Reference
Kategorie:Lineární algebra Kategorie:Matice