Vícerozměrný integrál je a určitý integrál reálné funkce více proměnných na dané množině. Zapisuje se , kde funkce se nazývá integrand a je daná vhodná množina. Tento zápis se často zkracuje na
Vícerozměrný integrál je různý pojem od vícenásobný integrál, tedy od postupné integrace po složkách, neboť vícenásobné integrály mohou existovat i pro neintegrovatelné funkce.
Vícerozměrný integrál se často vyčísluje pomocí Fubiniovy věty a substituce souřadnic.
Definice
Motivace vpravo|náhled|Dvojný integrál jako objem pod plochou. Často je nutno udělat součet hodnot nějaké funkce na vícerozměrné množině. Například objem nějakého tělesa, hmotnost tělesa s nekonstantní hustotou, energii nějakého pole. Takovým součtem je právě vícerozměrný integrál.
Dvojný integrál na obdélníku Pro mějme funkci .
Rozdělíme-li každý z intervalů na konečnou množinu disjunktních podintervalů , získáme dělení n-rozměrného intervalu na systém intervalů , pro které platí .
(n+1)-rozměrný objem pod n-rozměrnou plochou (grafem funkce ) na intervalu můžeme aproximovat Riemannovým součtem:
,
kde jje prvek intervalu and je míra intervalu (tedy součin délek jednotlivých jednorozměrných intervalů ) .
Řekneme, že funkce je Riemannovsky integrovatelná, jestliže existuje konečná limita přes všechna dělení intervalu na podintervaly míry maximálně :
.
Jestliže je is Riemannovsky integrovatelná, tak se nazývá (vícerozměrný) Riemannův integral funkce na intervalu a píše se .
Na měřitelné množině Buď funkce omezená na neprázdné měřitelné množině . Řekneme, že funkce je na množině (Riemannovsky) integrovatelná, je-li funkce definovaná předpisem
integrovatelná na nějakém uzavřeném vícerozměrném intervalu takovém, že .
Vícenásobným (Riemannovým) integrálem funkce na množině pak rozumíme číslo .
Pro prázdnou množinu definujeme pro každou funkci .
Speciální případy V případě, že tak se nazývá dvojný integrál funkce na , dále pro je trojný integrál funkce na .
Vlastnosti Většinu vlastností má vícerozměrný integrál stejné jako jednorozměrný určitý integrál. Mezi nimi linearitu, komutativitu.
Důležitou vlastností je, že hodnota vícenásobného integrálu nezávisí na pořadí integrace. Toto je známo jako Fubiniova věta.
Podmínky integrovatelnosti Je-li funkce spojitá v uzavřeném intervalu , pak existuje .
Aplikace
Mezi aplikace vícerozměrného integrálu patří výpočet objemu, hmotnosti a umístění těžiště. Dále například výpočet energie fyzikálního pole.
Poznámky
Reference
Související články parciální derivace diferenciál
Kategorie:Integrální počet