Riemannova geometrie (též riemannovská geometrie) je oblast diferenciální geometrie, která se zabývá studiem zakřivených prostorů popsaných pomocí Riemannových prostorů. Jejím základem je pojem metrického tenzoru, který umožňuje na hladké varietě definovat délky křivek, úhly mezi tečnými vektory, objemy a zakřivení prostoru.

Riemannova geometrie vznikla v 19. století především pracemi německého matematika Bernharda Riemanna, který zobecnil klasickou eukleidovskou geometrii na prostory s nenulovou křivostí. V rámci Riemannovy geometrie lze popsat jak prostory s kladnou křivostí, například sférickou geometrii, tak prostory se zápornou křivostí, například hyperbolickou geometrii.

Jedním ze základních pojmů Riemannovy geometrie je geodetika, tedy křivka představující lokálně nejkratší spojení dvou bodů. Zakřivení prostoru je popsáno pomocí Riemannova tenzoru křivosti, z něhož lze odvodit další geometrické veličiny, například Ricciho tenzor nebo skalární křivost.

Pseudoriemannova geometrie O Riemannově geometrii se obvykle hovoří pouze tehdy, pokud je metrický tenzor pozitivně definitní, takže všechny nenulové tečné vektory mají kladnou normu. Pokud je metrika indefinitní, hovoří se o pseudoriemannovské geometrii. Příkladem takového prostoru je prostoročas v obecné teorii relativity, kde metrika rozlišuje časové a prostorové směry.

Pseudoriemannovská geometrie tvoří matematický základ Einsteinovy obecné teorie relativity, ve které je gravitace interpretována jako důsledek zakřivení časoprostoru. Pohyb volných těles je popsán jako pohyb po geodetikách dané geometrie.

Historie Základy Riemannovy geometrie položil Bernhard Riemann ve své habilitační přednášce Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen z roku 1854. Riemann zde poprvé formuloval myšlenku, že geometrické vlastnosti prostoru mohou být určeny metrikou a zakřivením. Jeho práce významně ovlivnila další rozvoj diferenciální geometrie i moderní fyziky.

Na počátku 20. století využil Albert Einstein aparát pseudoriemannovské geometrie při formulaci obecné teorie relativity, kde geometrie časoprostoru určuje gravitační interakce.

Související články Riemannův prostor Metrický tenzor Riemannův tenzor Diferenciální geometrie Geodetika Pseudoriemannova varieta Obecná teorie relativity

Odkazy Reference

Literatura

Externí odkazy

Kategorie:Diferenciální geometrie