náhled|Příklad tří bází v dvourozměrném prostoru, z nichž báze B1 a B2 jsou vzájemně MUB, zatímco vektory báze B3 nemají stejný překryv s vektory báze B1 či B2 a tak do souboru MUB bází nepatří. MUB báze (z anglického ) je v kvantové mechanice označení pro množinu bází daného Hilbertova prostoru, kde má každý vektor jedné báze stejný překryv se všemi vektory bází ostatních a to v následujícím smyslu: Máme-li konečněrozměrný komplexní Hilbertův prostor o dimenzi , jsou dvě jeho ortonormální báze a MUB bázemi, splňují-li jejich vektory následující podmínku:
pro všechny hodnoty indexů , kde je konstanta, jejíž hodnota zní . Pokud množinu tvoří více než dvě báze, musí tyto podmínky platit pro kterékoliv dvě vybrané báze z této množiny. Splňují-li dvě či více bází výše uvedenou podmínku, říkáme, že jsou tyto vůči sobě MUB.
Anglické označení mutually unbiased bases lze velmi neuměle přeložit jako vzájemně nestranné báze či vzájemně nezkreslené báze, čímž se odkazuje na následující skutečnost: Uvažme jistý fyzikální systém, jehož kvantový stav je představován některým z vektorů jedné báze a vystavme systém projektivnímu měření v bázi druhé. Je-li stav systému popsán vektorem , je pravděpodobnost naměření vektoru podle Bornova pravidla rovna , což je z definičních podmínek MUB bází rovno konstantě . Tato konstanta je však nezávislá jak na konkrétní volbě vektoru tak na vektoru a naměřený výsledek tak nepřináší žádnou informaci o tom, v jakém stavu se systém před měřením nacházel. Jinými slovy, měření vektoru v bázi nepřináší vůbec žádnou novou informaci. V tomto smyslu jsou báze a vzájemně nezkreslené.
Pro tuto uvedenou vlastnost nacházejí MUB báze uplatnění například v kvantové kryptografii, kde neznalost báze, ve které je nosič informace připraven, znemožňuje změřit stav tohoto nosiče a tím i získat přenášenou informaci. Další aplikační oblastí je kvantová tomografie, kde měření fyzikálního systému v MUB bázích umožňuje získat veškerou informaci o stavu systému s nejmenší statistickou chybou. Počet a tvar možných MUB bází daného vektorového prostoru se liší v závislosti na dimenzi tohoto prostoru. Velkou pozornost přitom poutají sady MUB bází s největším možným počtem bází pro danou dimenzi. Dosud byly nalezeny sady s maximálním počtem MUB bází jen pro prostory, jejichž dimenze je rovna prvočíslu anebo celočíselné mocnině prvočísla. Obecné řešení nebylo dosud (rok 2022) nalezeno a zůstává předmětem aktivního výzkumu. Nalezení maximálního počtu MUB bází či dokázání jejich neexistence je jedním z otevřených problémů teoretické fyziky.
Na obrázku vpravo nahoře jsou zobrazeny tři různé báze dvourozměrného (reálného) vektorového prostoru. Báze B2 (vínově zbarvené vektory) je vůči B1 (černé vektory) natočena tak, že oba její vektory mají stejně veliký překryv s oběma vektory báze B1 (popř. až na znaménko). Jinými slovy, souřadnice vektorů báze B2 vyjádřené v soustavě zadané bází B1 mají stejnou absolutní hodnotu. Naproti tomu báze B3 (oranžové vektory) je natočena vůči B1 tak, že její vektory mají různý překryv s vektory báze B1. Báze B1 a B3 tak netvoří množinu MUB bází, zatímco báze B1 a B2 ano.
Historie
Prvním, kdo studoval MUB báze, ač tehdy ještě ne pod tímto názvem, byl v roce 1960 Julian Schwinger ve svém článku Unitary operator bases, kde mimo jiné ukázal, že vlastní vektory vícerozměrných X a Z Pauliho operátorů tvoří dvě MUB báze a že z těchto operátorů zkonstruované Heisenbergovy-Weylovy operátory tvoří ortonormální bázi unitárních operátorů pro danou dimenzi. Na jeho práci v roce 1987 navázal Karl Kraus, který studoval MUB báze v kontextu komplementárních proměnných a relací neurčitosti. Krausova pozorování byla poté dále rozvedena a vztah MUB bází a entropických relací neurčitosti není dosud zcela vyjasněn.
V roce 1981 I. Ivanovič prezentoval techniku umožňující ze znalosti výsledků měření v MUB bázích zrekonstruovat původní kvantový stav daného systému. V tomtéž článku pak autor podal i explicitní tvar těchto bází pro Hilbertovy prostory, jejichž dimenze je rovna prvočíslu. Ivanovičův postup zobecnili v roce 1988 William Wootters a Brian Fields na dimenze, jež jsou rovny mocnině prvočísla, a zavedli pojem "mutually unbiased bases". Titíž autoři současně ukázali, že rekonstrukce kvantových stavů pomocí MUB bází je optimální v tom smyslu, že odpovídající statistická chyba je v takovémto případě minimální. Techniky rekonstrukce založené na MUB bázích byly dále zobecněny na rekonstrukci kvantových procesů.
V roce 1983 byl opublikován článek Stephena Wiesnera s názvem Conjugate coding, ve kterém jsou MUB báze využity pro neodposlouchávatelný přenos informace. Tento článek se stal odrazovým můstkem pro celé odvětví nyní zvané kvantová kryptografie. Wiesnerovy myšlenky jsou od té doby dále rozpracovávány a analyzovány z pohledu bezpečnosti přenosu i míry přenesené informace, viz např. .
I přes značnou snahu není ani k roku 2022 jasné, kolik MUB bází pro obecnou dimenzi existuje, natož pak jejich tvar. Jedná se o dimenze, jež nelze vyjádřit jako mocninu prvočísla, přičemž nejmenší takovou dimenzí je číslo šest. Tato dimenze byla předmětem intenzivního studia a numerické simulace zatím naznačují, že více než tři MUB báze v dimenzi rovné šesti neexistují.
Dvourozměrný prostor
Tvar MUB bází a jejich použití lze dobře ilustrovat v dvourozměrném Hilbertově prostoru, jenž je pro svou jednoduchost také hojně používaný v různých aplikacích a teoretických odvozeních. Za standardní ortonormální bázi lze v tomto prostoru zvolit vektory a . Velmi častá volba MUB bází pro dvourozměrný prostor je pak následujícího tvaru: + Dimenze Báze 1 Báze 2 Báze 3 Vektor 1 Vektor 2
Lze se snadno přesvědčit, že takto zadané vektory nejen že tvoří ortonormální báze, ale tyto báze jsou skutečně vůči sobě MUB. V dvourozměrném prostoru navíc nelze sestrojit sadu více než tří MUB bází a výše uvedený příklad je tak již v tomto ohledu maximální.
V reálném světě lze vektory a ztotožnit například s horizontální a vertikální polarizací fotonu. V takovém případě je druhá MUB báze tvořena diagonální a anti-diagonální polarizací. Třetí MUB báze se pak skládá z pravo- a levotočité polarizace. Pokud místo fotonu uvažujeme spin elektronu, tak vektory a můžeme ztotožnit po řadě se spinem nahoru a dolů (přesněji vzato, s vlastní bází Pauliho operátoru ). Druhá báze pak odpovídá spinu mířícímu vlevo či vpravo (to jest, vlastní bázi Pauliho operátoru ) a konečně báze třetí pak obsahuje vektory představující spin mířící dopředu či dozadu (vlastní bázi Pauliho operátoru ).
náhled|Množinu všech čistých dvourozměrných stavů lze znázornit jako Blochovu sféru a ortonormální bázi jako dvě šipky, mířící přesně v opačných směrech. Zvolíme-li standardní bázi jako bázi tvořenou vektory a , zbarvené modře, lze za další dvě MUB báze zvolit báze , červené vektory, a , zelené vektory.
Polarizace fotonu i spin elektronu odpovídají dvourozměrným kvantovým systémům. Změření těchto systémů ve třech výše uvedených MUB bázích umožňuje zrekonstruovat jejich kvantový stav s použitím Blochovy reprezentace. Každý dvourozměrný čistý kvantový stav lze vyjádřit jako bod na Blochově sféře, vyobrazené vpravo. Každou z výše zmíněných MUB bází pak lze znázornit na této sféře jako dvě protilehlé šipky jisté barvy — konkrétně standardní báze (horizontální/vertikální polarizace či spin nahoru/dolů) odpovídá modré, druhá MUB báze (diagonální/antidiagonální polarizace či spin vlevo/vpravo) odpovídá červené a konečně třetí MUB báze (pravotočivá/levotočivá polarizace či spin dopředu/dozadu) odpovídá zelené barvě.
Ve dvourozměrném prostoru je snadné nalézt všechny sady tří MUB bází přímým výpočtem, bez nutnosti využití pokročilejšího matematického aparátu nezbytného ve vyšších dimenzích. Ukazuje se, že až na globální fázi mají vektory těchto bází následující obecný tvar, kde pro nějaké reálné číslo a kde kety a představují standardní bázi daného prostoru:
+ Všechny MUB báze pro dimenzi Báze 1 Báze 2 Báze 3 Vektor 1 Vektor 2
Geometricky lze tyto báze znázornit na Blochově sféře podobně jako na obrázku vpravo, kde nyní fáze v čísle udává natočení červené a zelené báze kolem báze modré, která splývá se svislou -ovou osou a zůstává neměnná.
Pokud bychom si za standardní, to jest modrou, bázi zvolili nějaké jiné dva ortonormální vektory, obdrželi bychom podobné chování. A sice, fáze by vyjadřovala natočení červené a zelené báze kolem báze modré, která už ovšem nesměřuje podél -ové osy. Všechny tři báze by ale v každém případě byly stále MUB — MUB vlastnost totiž souvisí čistě se vzájemnými vztahy mezi bázemi, ne na jejich absolutním natočení v prostoru. Protože se současným natočením všech bází jejich vzájemné vztahy nemění, lze vždy bez újmy na obecnosti první bázi zafixovat tak, aby byl její tvar co nejjednodušší, jak jsme provedli výše. Tato nezávislost na natočení je důsledkem unitární invariance zmíněné níže v oddíle "Unitární invariance".
Matematické vlastnosti
Hodnota konstanty
Základní podmínkou pro to, aby dvě báze v prostoru o dimenzi byly MUB bázemi, je, aby byla velikost překryvu všech vektorů totožná a tedy pro jistou konstantu . Hodnotu této konstanty lze určit následovně. Vektory tvoří ortonormální bázi a pro daný vektor tedy platí Parsevalova rovnost: . Vektor je normalizovaný a tak je pravá strana rovnice rovna jedničce. Levá strana se zjednodušší na , z čehož plyne . Fyzikálněji motivované vysvětlení může znít tak, že výraz udává dle Bornova pravidla pravděpodobnost naměření vektoru , je-li měřený systém ve stavu . Ať už je výsledek měření jakýkoli, je jisté, že nějaký výsledek obdržíme. Pravděpodobnost toho, že obdržíme nějaký výsledek, je tedy rovna jedné. Současně je tato pravděpodobnost rovna součtu , odkud tedy . Z definice MUB bází je každá dílčí pravděpodobnost rovna konstantě a odtud už podobně jako při důkazu výše nutně plyne, že .
Unitární invariance
Volba MUB bází není jednoznačná — unitární rotací všech bází současně se jejich vzájemný vztah zachovává. Uvažme dvě ortonormální báze a , které jsou vzájemně MUB. Unitární operace zachovávají ortonormalitu a tak sady vektorů a , kde je unitární operátor, opět tvoří dvě ortonormální báze. Pro jejich překryv dále platí:
kde první rovnost plyne z unitarity, to jest , a druhá rovnost plyne z předpokladů, že původní báze jsou MUB. Jak lze tedy snadno nahlédnout, i báze a jsou vůči sobě MUB.
Když se hovoří o tom, že v daném prostoru existuje MUB bází, je tím míněno, že lze v daném prostoru sestrojit sadu ortonormálních bází, které jsou vůči sobě MUB, jejichž počet je přitom . Z této sady lze však sestrojit nekonečně mnoho jiných sad MUB bází čistě tím, že na každý vektor uplatníme nějakou unitární operaci . Vzhledem k této unitární invarianci lze vždy za první bázi zvolit bázi standardní. Touto volbou již nelze využít unitární invariance a tvar dalších MUB bází je již značně omezen MUB podmínkami. I s tímto ukotvením však lze i tak v některých dimenzích nalézt vícero neekvivalentních sad MUB bází.
Maticové vyjádření
Vztahy pro vektory MUB bází lze přepsat do formy matic, potažmo lineárních operátorů. Máme-li dvě ortonormální báze a v -rozměrném prostoru, lze ke každému vektoru přiřadit projektor na tento vektor tak, že a . Tyto dvě báze jsou pak vzájemně MUB, pokud odpovídající projektory splňují následující rovnici:
kde označuje stopu matice. Kvůli ortonormalitě báze musí přitom sada operátorů být tvořena ortogonálními projektory a totéž platí pro bázi a projektory .
Jiný způsob, jak se dívat na MUB báze je využitím unitárních operátorů. Z každé ortonormální báze lze vytvořit unitární matici tak, že z jednotlivých vektorů utvoříme řádky matice. Je-li tedy -tá složka -tého vektoru báze, je matice tvaru . Unitarita plyne z ortonormality. Máme-li poté dvě unitární matice a , lze podmínku MUB vlastnosti přepsat do tvaru: