náhled|Pravidelný osmnáctiúhelník a jeho úhly Osmnáctiúhleník, cizím slovem octadecagon či octakaidecagon (z řec. δεκαοχτώ, dekaochtó – osmnáct, a γωνία, gonia – úhel), je mnohoúhelník s osmnácti stranami a vrcholy.
Popis pravidelného osmnáctiúhelníku Součet středových úhlů pravidelného osmanáctiúhleníku je 360°, jeden středový úhel je tedy , což je i hodnota každého vnějšího úhlu.
Jeden vnitřní úhel je , součet všech vnitřních úhlů je tedy .
Je-li α délka strany, pak:
obvod: obsah: náhled|Pravidelný osmnáctiúhelník se všemi možnými spojnicemi vrcholů
minimální poloměr: maximální poloměr:
Rýsování náhled|Rýsování pravidelného osmnáctiúhelníku Pravidelný osmnáctiúhelník nelze narýsovat pouze za pomoci pravítka a kružítka, neboť aby bylo možno daný pravidelný mnohoúhelník narýsovat, musí být všechny jeho liché dělitele být Fermatova čísla ().
Osmnáct je dělitelné devíti, což je liché číslo a přitom není Fermanovo. S menší odchylkou (středový úhel se změní z na , odchylka tedy a celkově ) jej však lze zkonstruovat v 19 krocích: Utvoříme přímku p. Narýsujeme kružnici k se středem I, jež se nalézá na přímce p. Vytvoříme kružnici l se středem v pravém průsečíku kružnice k a přímky p , jejíž poloměr je shodný s průměrem kružnice k. Vytvoříme kružnici m se středem v levém průsečíku kružnice k a přímky p , jejíž poloměr je shodný s průměrem kružnice k. Narýsujeme přímku q, jež protíná průsečíky kružnic l a m a . Narýsujeme kružnici n, jejíž střed se nachází v průsečíku kružnice k a přímky q , jejíž průměr je shodný s průměrem kružnice k. Narýsujeme přímku r, jež protíná průsečíky kružnice k s kružnicí n a a je kolmá na přímku p. Zkonstruujeme kružnici o, jejímž středem je průsečík J a jejíž průměr je totožný s průměrem kružnice k. Narýsujeme přímku s, jež je kolmá na průsečík J. Utvoříme kružnici p, která má střed v průsečíku N a průměr totožný s poloměrem kružnice k. Sestrojíme kružnici q, jejíž střed leží v průsečíku kružnice o a přímky s a jejíž průměr je stejný jako poloměr kružnice k. Narýsujeme přímku t, jež je kolmá na přímku q v horním průsečíku kružnice p a přímky q . Zároveň ji lze popsat jako přímku, jež protíná průsečík S a horní průsečík přímky s a kružnice p. Narýsujeme přímku u, která protíná bod I a průsečík kružnice n a přímky s . Sestrojíme kružnici r, která má střed v průsečíku J a prochází průsečíkem přímky u a kružnice k . Vytvoříme přímku v, která prochází oběma průsečíky kružnice r s kružnicí k a je tak kolmá na přímku p. Zkonstruujeme přímku w, která prochází bodem I a průsečíkem přímky r a v . Narýsujeme přímku x, která prochází průsečíkem J a průsečíkem přímky w a t . Sestrojíme přímku y, jež prochází bodem I a průsečíkem přímek r a x . Přímky p a y svírají úhel α. Vezmeme do kružítka vzdálenost mezi jejich průsečíky s kružnicí k a a po obvodu kružnice k si uděláme značky, jež následně spojíme.
Při tomto rýsování vytvoříme množství kružnic, průsečíků a přímek. Zde je jejich přehled:
Kružnice: k, l, m, n, o, p, q, r Průsečíky a body: I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, Y, Z Přímky: p, q, r, s, t, u, v, w, x, y
Zajímavosti vlevo|náhled|102x102pixelů|Obr. 1
Trojúhelník RA-QA-CB náhled|Pravidelný trojúhelník A18-A17-B3|218x218bod Zajímavostí je, že pokud k sobě přitiskneme pravidelný osmnáctiúhelník Α a pravidelný devítiúhelník Β (se stejně dlouhými stranami) body AA a AB a RA a BB a spojíme úsečkou body QA a CB (vrcholu se pojmenovávají proti směru hodinových ručiček), pak vznikne pravidelný rovnostranný trojúhelník RA-QA-CB. vlevo|náhled|102x102pixelů|Obr. 2 Součet vnějšího úhlu A a vnějšího úhlu B musí být 60° (vnitřní úhel pravidelného trojúhelníku). Vnější úhel α je 20°, vnější úhel β tedy musí být . Dává to smysl, neboť osmnáctiúhelník má dvakrát více vrcholů a stran než devítiúhelník. náhled|Osmnáctiúhelníky, devítiúhelníky, kosočtverce a trojúhelníky|218x218pixelů
Osmnáctiúhelníková síť S pomocí osmnáctiúhelníků, devítiúhelníků, kosočtverců a trojúhelníků v poměru 1:2:8:2 lze sestrojit vzor opakujících se geometrických útvarů. Zde se uplatní předešlý popsaný jev. vlevo|náhled|100x100pixelů|Obr. 3
Osmnáctiúhelník vyplněný kosočtverci Pravidelný osmnáctiúhelník lze několika způsoby vyplnit různě velkými kosočtverci, které však obvykle mají stejnou délku strany a často jich je 36, od každého druhu devět.
Reference
Externí odkazy
Kategorie:Mnohoúhelníky