Jedničková matice a jedničkový vektor mají všechny prvky rovny jedné. Nesmějí se zaměňovat s jednotkovou maticí a jednotkovými vektory.
Definice a značení Jedničková matice nad okruhem s neutrálním prvkem je .
Jedničková matice obsahující pouze z jeden sloupec se nazývá jedničkový vektor. Je-li zřejmé, že jde o čtvercovou matici řádu , lze psát jen , případně indexy zcela vynechat, jsou-li zřejmé nebo nepodstatné. Vzhledem k tomu, že jde o dobře definovanou matematickou konstantu bývá značena neskloněným písmem. Jednotkové matice mohou být značeny a podobně.
Ukázky
Vlastnosti
Algebraické vlastnosti Jedničková matice může být také reprezentována součinem jedničkových vektorů:
Transponovaná matice k jedničkové matice je opět jedničková matice, neboli:
Jedničková matice je neutrálním prvkem v maticovém okruhu , přičemž je součet matic a je Hadamardův součin. Pro všechny matice platí: .
Hodnost, determinant, stopa Jedničkové matice nad tělesem mají následující vlastnosti:
Hodnost matice je rovna jedné .
Determinant čtvercové jedničkové matice je
Stopa reálné nebo komplexní čtvercové matice je .
Vlastní čísla a vlastní vektory Charakteristický polynom reálné nebo komplexní jedničkové matice je
.
Vlastní čísla jsou
a .
Příslušné vlastní vektory jsou
a . Minimální polynom je .
Součiny Součin dvou reálných nebo komplexních jedničkových matic je .
Výpočet -té mocniny čtvercové jedničkové matice pro je dán vztahem .
Matice je proto idempotentní, neboli
.
Exponenciála jedničkové matice je
,
Reálná i komplexní čtvercová matice je pozitivně semidefinitní.
Aplikace Jedničková matice se používá v kombinatorice, zvláště v algebraické teorii grafů. Například, je-li matice sousednosti neorientovaného grafu na vrcholech a je jedničková matice řádu , pak je regulární, právě když .
Programování V numerickém softwarovém balíku MATLAB je jedničková matice generována funkcí ones(m,n).
Odkazy
Reference
Literatura
Související články Jednotková matice
Kategorie:Matice Kategorie:Matematické konstanty