Bolzanova–Weierstrassova věta je základní matematické tvrzení o konvergenci posloupností v konečném euklidovském prostoru . Věta říká, že každá nekonečná omezená posloupnost v obsahuje konvergentní vybranou posloupnost.Bartle a Sherbert 2000, p. 78 (pro ℝ). (Jinými slovy lze z každé omezené posloupnosti čísel nebo konečněrozměrných vektorů vybrat posloupnost, která konverguje k nějakému pevnému číslu nebo vektoru.) Ekvivalentní formulace říká, že podmnožina je sekvenčně kompaktní právě tehdy, když je uzavřená a omezená.Fitzpatrick 2006, p. 52 (pro ℝ), p. 300 (pro ℝn). Tvrzení se proto někdy nazývá věta o sekvenční kompaktnosti.Fitzpatrick 2006, p. xiv.
Bolzanova–Weierstrassova věta je pojmenována po matematicích Bernardu Bolzanovi a Karlu Weierstrassovi. Poprvé ji dokázal český teolog a matematik Bolzano v roce 1817 jako lemma v rámci důkazu věty o střední hodnotě. O zhruba padesát let později byl výsledek rozpoznán jako významný sám o sobě a německý matematik Weierstrass jej dokázal znovu. Od té doby se stal základní větou matematické analýzy.
Důkaz Nejprve dokážeme větu pro (množinu všech reálných čísel), přičemž využijeme fakt, že je uspořádaná množina (čísla lze seřadit podle velikosti). Pak tvrzení zobecníme na vyšší rozměry.
Lemma: Z každé nekonečné posloupnosti v lze vybrat monotónní (tj. buď neklesající anebo nerostoucí) posloupnost.
DůkazBartle a Sherbert 2000, pp. 78–79.: Označme kladný celočíselný index sekvence jako vrchol sekvence, pokud pro každé (tj. všechny členy následující po vrcholu jsou menší nebo rovny členu s indexem vrcholu). Předpokládejme nejprve, že posloupnost má nekonečně mnoho vrcholů, což znamená, že existuje vybraná posloupnost těchto vrcholů s hodnotami . Takže nekonečná posloupnost v obsahuje nerostoucí, a tedy monotónní posloupnost. Pokud naopak vrcholů je nanejvýš konečně mnoho, tak existuje jako nejvyšší vrchol (není-li v posloupnosti vůbec žádný vrchol, položíme rovno jedné) a budeme vytvářet vybranou posloupností , kde . Jelikož není vrchol (protože následuje po nejvyšším vrcholu), tak musí existovat tak, že a . Ani není ze stejného důvodu vrchol, proto existuje , kde s . Opakování tohoto procesu vede k nekonečné neklesající posloupnosti To dokazuje, že z každé nekonečné posloupnosti v lze vybrat monotónní posloupnost. Tím je lemma dokázáno.
Pokud jsme vybírali z omezené posloupnosti, je vybraná monotónní posloupnost rovněž omezená. Z věty o monotónní konvergenci pak vyplývá, že tato monotónní posloupnost konverguje. Tím jsme Bolzanovu–Weierstrassovu větu dokázali pro .
Obecný případ lze redukovat na takto: Nechť je dána omezená posloupnost v . Posloupnost prvních souřadnic je omezená reálná posloupnost, má tedy konvergentní podposloupnost. Z té pak lze vybrat posloupnost, na které konverguje druhá souřadnice, a tak dále, dokud nakonec nevybereme posloupnost, na které konverguje všech souřadnic — což je stále posloupnost vybraná z původní posloupnosti. Tím je důkaz dokončen.
Reference
Externí odkazy
Literatura
Kategorie:Matematická analýza Kategorie:Matematické věty a důkazy Kategorie:Matematické posloupnosti a řady Kategorie:Reálná analýza Kategorie:Limity (matematika) Kategorie:Topologie