Butterworthův filtr je druh filtru pro zpracování signálu, který je navržený tak, aby jeho frekvenční odezva byla v propustném pásmu co nejplošší. Nazývá se také maximálně plochý filtr. Tento druh filtru navrhl a v roce 1930 popsal britský inženýr a fyzik Stephen Butterworth ve článku nazvaném On the Theory of Filter Amplifiers („K teorii zesilovačů s filtry“).
Původní článek Butterworth si vydobyl reputaci řešením velmi komplikovaných matematických problémů, které byly považovány za 'neřešitelné'. Návrh filtrů v té době vyžadoval značné zkušenosti kvůli omezením tehdy používaných teorií. Tento druh filtru se více než 30 let po své publikaci příliš nepoužíval. Butterworth řekl:
Takový ideální filtr není možné sestrojit, ale Butterworth ukázal, že přidáváním prvků správných hodnot do filtru lze dosáhnout stále bližšího přiblížení. Filtry v té době měly značné zvlnění v propustném pásmu, a volba hodnot součástek byl vysoce interaktivní. Butterworth ukázal, že lze navrhnout dolní propust, jejíž mezní frekvence byla normalizovaná na 1 radián za sekundu a jejíž frekvenční odezva (zisk) je
kde je úhlová frekvence v radiánech za sekundu a je počet pólů filtru, který je roven počtu reaktivních prvků v pasivním filtru. Pokud = 1, amplitudová odezva tohoto typu filtru v propustném pásmu je , což je poloviční výkon neboli pokles o −3 dB. Butterworth ve svém článku popsal pouze filtry se sudým počtem pólů. Pravděpodobně si nebyl vědom, že tyto filtry lze navrhnout s lichým počtem pólů. Své filtry vyšších řádů vytvořil z dvoupólových filtrů oddělených elektronkovým zesilovacím stupněm. Znázornění frekvenční odezvy 2, 4, 6, 8 a 10pólového filtru je zobrazeno křivkami A, B, C, D a E na grafu v jeho článku.
Butterworth vyřešil rovnice pro dvoupólové a čtyřpólové filtry a ukázal, jak by bylo možné kaskádovat čtyřpólové filtry oddělené elektronkovými zesilovacími stupni, a tak umožnil konstrukci filtrů vyššího řádu bez ohledu na ztráty cívek. V roce 1930 ještě nebyly materiály pro jádra cívek s nízkými ztrátami např. molypermalloy k dispozici, a audiocívky se vzduchovým jádrem byly dosti ztrátové. Butterworth objevil, jak je možné kompenzovat odpor vinutí cívek dalšími součástkami.
Butterworth používal cívky o průměru 31,75 mm a délce 76,1 mm se zásuvnými vývody. Přidružené kondenzátory a rezistory byly umístěny v kostřičce cívky. Odpor cívky tvořil část anodového zatěžovacího rezistoru. Pro každé dva póly byly použita jedna elektronka a mřížka následující elektronky byla navázána RC článkem.
Butterworth také ukázal, jak upravit základní zapojení dolní propusti, aby vznikla dolní propust, horní propust, pásmová propust nebo pásmová zádrž.
Úvod náhled|vpravo|350px|Bodeho graf Butterworthovy dolní propusti prvního řádu
Frekvenční odezva Butterworthova filtru je maximálně plochá (tj. nemá žádné zvlnění) v propustném pásmu a v nepropustném pásmu se blíží k nule. Jak je vidět na logaritmickém Bodeho grafu, odezva lineárně klesá směrem k minus nekonečnu. Odezva filtru prvního řádu má pokles −6 dB na oktávu (−20 dB na dekádu) (všechny dolnopropustné filtry prvního řádu mají stejnou normalizovanou frekvenční odezvu). Filtr druhého řádu má pokles −12 dB na oktávu, třetího řádu −18 dB atd. Funkce magnitudy Butterworthových filtrů se mění monotonně s ω na rozdíl od jiných druhů filtrů, které v propustném nebo zádržném pásmu vykazují nemonotonní zvlnění.
V porovnání s Čebyševovými filtry typu I nebo typu II nebo s eliptickými filtry mají Butterworthovy filtry pomalejší pokles a pro dosažení stanovené hodnoty konečného útlumu tedy budou vyžadovat vyšší řád, mají však lineárnější fázovou odezvu v propustném pásmu, než jakou mohou poskytnout Čebyševovy filtry typu I a II i eliptické filtry.
Příklad 300px|vpravo|náhled|Dolní propust třetího řádu (Cauerova topologie). O Butterworthův filtr s mezní frekvencí =1 se jedná, pokud (například) =4/3 F, =1 Ω, =3/2 H a =1/2 H. Jednoduchým příkladem Butterworthova filtru je dolní propust třetího řádu zobrazená na obrázku vpravo. Její přenosová funkce je
s hodnotami součástek = 4/3 F, = 1 Ω, = 3/2 H, a = 1/2 H. Pokud impedance kondenzátorů je a impedance cívek je , kde je komplexní frekvence, obvodová rovnice dává přenosovou funkci tohoto obvodu:
Řád frekvenční odezvy (zisk) je dán vzorcem
který vyplývá z
a fázi popisuje vzorec
256px|vlevo|náhled|Zisk a skupinové zpoždění Butterworthova filtru třetího řádu s
Skupinové zpoždění je definováno jako derivace fáze podle úhlové frekvence a je mírou zkreslení signálu způsobeného fázovými rozdíly na různých frekvencích. Zisk a zpoždění tohoto filtru jsou vyneseny do grafu vlevo. Je vidět, že v křivce zisku není žádné zvlnění ani v propustném ani v potlačeném pásmu.
Logaritmus absolutní hodnoty přenosové funkce je vynesen do grafu v prostoru komplexních frekvencí ve druhém grafu vpravo. Funkce je definována třemi póly v levé polovině roviny komplexních frekvencí. 250px|vpravo|náhled|Graf logaritmické hustoty přenosové funkce v komplexním prostoru frekvencí pro Butterworthův filtr třetího řádu s =1. Tři póly leží v levé polorovině na kružnici s jednotkovým poloměrem. Póly jsou rozmístěny na kružnice o jednotkovém poloměru symetrické podle reálné osy . Funkce zisku bude mít tři další póly v pravé polorovině pro dokončení kružnice.
Nahrazením každé cívky kondenzátorem a každého kondenzátoru cívkou získáme hornopropustný Butterworthův filtr.
Butterworthovu pásmovou propust získáme zapojením kondenzátoru sériově s každou cívkou a cívky paralelně s každým kondenzátorem pro vytvoření rezonančních obvodů. Hodnota každého nového prvku musí být zvolena tak, aby rezonovala s původním prvkem na příslušné frekvenci.
Butterworthovu pásmovou zádrž získáme zapojením kondenzátoru paralelně s každou cívkou a cívky sériově s každým kondenzátorem pro vytvoření rezonančních obvodů. Hodnota každého přidaného prvku musí být zvolena tak, aby rezonoval s původním prvkem na frekvenci, která má být potlačena.
Přenosová funkce náhled|350px|vlevo|Graf zisku Butterworthova dolnopropustného filtru řádu 1 až 5, s mezní frekvencí . Z grafu je patrné, že sklon je 20 dB/dekádu kde je řád filtru.
Jako u všech filtrů je prototypickým filtrem dolní propust, kterou lze změnit na horní propust nebo rozšířit o další prvky pro vytvoření pásmové propusti nebo pásmové zádrže, nebo pro vytvoření vyšších řádů filtrů.
Zisk Butterworthovy dolní propusti -tého řádu lze vyjádřit pomocí přenosové funkce jako
kde je řád filtru, je mezní frekvence (frekvence pro pokles o přibližně −3 dB), a je stejnosměrný proudový zisk (zisk při nulové frekvenci).
Je vidět, že když se blíží k nekonečnu, průběh zisku se blíží k obdélníkové funkci a frekvence pod bude přenášené se ziskem , zatímco frekvence nad budou potlačené. Pro menší hodnoty , budou meze méně ostré.
Chceme určit přenosovou funkci kde (z Laplaceovy transformace). Protože , a díky obecné vlastnosti Laplaceovy transformace v , pokud vybereme takové, že:
pak, s , dostáváme frekvenční odezvu Butterworthova filtru.
Celkem pólů tohoto výrazu se objeví na kružnici o poloměru ve stejně vzdálených bodech symetrických okolo záporné reálné osy. Kvůli stabilitě je přenosová funkce zvolena tak, že obsahuje pouze póly v záporné reálné polorovině . Pro -tý pól platí
a tedy
Přenosovou (nebo systémovou) funkci lze zapsat pomocí těchto pólů jako
.
kde je operátor součinu posloupnosti. Jmenovatel je Butterworthův polynom v .
Normalizované Butterworthovy polynomy Butterworthovy polynomy je možné zapsat v komplexním tvaru, jak je uvedeno výše, ale obvykle se zapisují s reálnými koeficienty násobenými dvojicemi pólů, které jsou komplexní sdružené, např. a . Díky jsou polynomy normalizované. Normalizované Butterworthovy polynomy pak mají obecně tvar součinu
Faktory Butterworthových polynomů řádu 1 až 10 jsou uvedené v následující tabulce (na šest platných míst):
nFaktory Butterworthových polynomů 12345678910
Přesné hodnoty faktorů Butterworthových polynomů řádu 1 až 6 jsou uvedeny v následující tabulce:
nFaktory Butterworthových polynomů 123456
kde řecké písmeno phi ( nebo ) reprezentuje hodnotu zlatého řezu. Je to iracionální číslo, které je řešením kvadratické rovnice s hodnotou
-tý Butterworthův polynom je také možné zapsat jako sumu
s koeficienty danými rekurentním vzorcem
a součinovým vzorcem
kde
Dále . Zaokrouhlené koeficienty pro prvních 10 Butterworthových polynomů jsou:
+ Butterworthovy koeficienty s přesností na čtyři desítková místa
Pro určení přenosové funkce pro libovolnou mezní frekvenci dolní propusti lze použít normalizované Butterworthovy polynomy, z čehož plyne
, kde
Transformace na jiné druhy filtrů jsou také možné, viz prototypický filtr.
Maximální plochost Za předpokladu, že a , lze ukázat, že derivace zisku podle frekvence je
které monotonně klesají pro všechna protože zisk je vždy kladný. Funkce zisku Butterworthova filtru proto nemá žádné zvlnění. Řada rozšíření zisku popisuje vztah
Jinými slovy všechny derivace zisku menší než 2-tá jsou v nulové, důsledkem čeho je „maximální plochost“. Pokud požadavek na monotonii omezíme na propustné pásmo, zatímco zádržném pásmu je zvlnění možné, pak je možné navrhnout filtr stejného řádu, např. inverzní Čebyševův filtr, které je v propustném pásmu plošší než „maximálně plochý“ Butterworthův filtr.
Strmost poklesu při vysokých frekvencích Opět předpokládáme, že , sklon logaritmu zisku pro velké je
V decibelech, strmost poklesu při vysokých frekvencích je proto 20 dB/dekádu nebo 6 dB/oktávu (faktor 20 se používá, protože výkon je úměrný druhé mocnině napěťového zisku; viz 20 log pravidlo.)
Nestandardní mezní zeslabení Mezní zeslabení pro Butterworthovy filtry se uvažuje −3,01 dB. Pokud je požadováno jiné zeslabení na mezní frekvenci, pak může být na každý pól aplikován dále uvedený faktor; póly budou stále ležet na kružnici, ale její poloměr už nebude jednotkový:
kde:
je pól přemístěný pro úpravu požadovaného mezního zeslabení.
je −3,01 dB mezní pól, který leží na jednotkové kružnici.
je požadovaný útlum na mezní frekvenci v dB (−1 dB, −10 dB, atd.)
je počet pólů (řád filtru).
Implementace a návrh filtrů Existuje několik různých topologií filtrů, které lze implementovat lineárními analogovými filtry. Nejpoužívanější topologií pro pasivní realizaci je Cauerova topologie, zatímco pro aktivní realizaci je nejpoužívanější topologií Sallenova–Keyova.
Cauerova topologie vpravo|450px|náhled|Butterworthův filtr s Cauerovou topologií
Cauerova topologie implementuje lineární analogový filtr pasivními součástkami (bočníkovými kondenzátory a sériovými cívkami). Butterworthův filtr s danou přenosovou funkcí lze realizovat pomocí Cauerovy 1-formy. k-tý prvek popisuje vztah
Pokud je třeba, může filtr začínat sériovou cívkou. Pak bude Lk pro liché k a Ck pro sudé k. Tyto vzorce lze vhodně zkombinovat tak, že jak Lk tak Ck bude rovno gk. Tj. gk je imitance dělená s.
Tyto vzorce platí pro dvojitě zakončený filtr (tj. impedance zdroje i zátěže jsou rovny jedné) s ωc = 1. Tento prototypický filtr lze upravovat pro jiné impedance a frekvence. Pro jednoduše ukončený filtr (tj. buzený ideálním zdrojem napětí nebo proudu) jsou hodnoty prvků
kde
a
Napětím buzené filtry musí začínat sériovým prvkem, zatímco proudem buzené filtry musí začínat bočníkovým prvkem. Tyto tvary jsou užitečné při návrhu diplexerů a multiplexerů.
Sallenova–Keyova topologie vpravo|300px|náhled|Sallenova–Keyova topologie
Sallenova–Keyova topologie používá pro implementaci lineárního analogového filtru pasivní i aktivní součástky (rezistory, kondenzátory a neinvertující vyrovnávací zesilovače, zpravidla operační zesilovače). Každý Sallenův–Keyův stupeň implementuje konjugovaný pár pólů; kompletní filtr je implementován sériovým propojením všech stupňů. Pokud existuje reálný pól (pokud je liché), musí být implementován odděleně, obvykle jako RC článek, a kaskádovaný s aktivním stupněm.