Nilradikál je pojem z oboru komutativní algebry. Jedná se o ideál v komutativním okruhu složený ze všech nilpotentních prvků. Alternativně může být definován jako radikál nulového ideálu. Odtud plyne značení .
Vlastnosti Nilradikál je ideálem, protože máme-li prvky takové, že a , pak i a . Nilradikál je roven průniku všech prvoideálů, což lze dokázat pomocí principu maximality. Okruh je složený ze samých nilpotentních prvků a jednotek právě tehdy, když je faktorokruh podle nilradikálu komutativním tělesem.
Příklady V okruhu modulární aritmetiky je nilradikál tvořen prvky . V okruhu jsou dva prvoideály, totiž hlavní ideály a . Jejich průnikem je ideál , který je nilradikálem, ale není prvoideálem. V okruhu mnohočlenů s proměnnými nad okruhem je nilradikál tvořen těmi mnohočleny, které mají všechny koeficienty nilpotentní.
Reference
Kategorie:Teorie okruhů