Boothův algoritmus je algoritmus na násobení dvou binárních čísel se znaménkem v dvojkovém doplňku.
Algoritmus Počet bitů násobence je x, počet bitů násobitele je y. Nakreslíme si tři řádky po x + y + 1 místech (bitech), označíme je A, B a C. Nejvyšších (nejvíce nalevo) x bitů každého řádku se vyplní v dvojkovém doplňku takto: A: násobenec B: minus násobenec C: nuly Dalších y bitů každého řádku se vyplní takto: A: nuly B: nuly C: násobitel Do posledního bitů každého řádku se napíše nula. Poté se následující kroky opakují y-krát: Pokud jsou poslední dva bity řádku C: 00 nebo 11: nedělá se nic 01: C = C + A. Přetečení se ignoruje. 10: C = C + B. Přetečení se ignoruje. Řádek C se (aritmeticky) posune o jedno místo doprava. Poslední bit součinu (řádku C) se zahodí.
Příklad 310 × -410: 00112 × -(01002) => 00112 × 11002: A = 0011 0000 0 B = 1101 0000 0 C = 0000 1100 0 Cyklus se provede čtyřikrát: C = 0000 1100 0, poslední dva bity jsou 00. C = 0000 0110 0, posun vpravo. C = 0000 0110 0, poslední dva bity jsou 00. C = 0000 0011 0, posun vpravo. C = 0000 0011 0, poslední dva bity jsou 10. C = 1101 0011 0, C = C + B. C = 1110 1001 1, posun vpravo. C = 1110 1001 1, poslední dva bity jsou 11. C = 1111 0100 1, posun vpravo. Výsledek je: 1111 01002 = -1210.
Proč algoritmus funguje Uvažme kladný násobitel sestávající z posloupnosti jedniček obklopené nulami. Např. 00111110. Součin je dán: , kde N je násobenec. Počet operací se dá redukovat na dvě přepsáním téhož jako
Součin lze pak dostat jedním přičtením a jedním odečtením násobence. Tento postup se dá rozšířit na jakýkoliv počet posloupností jedniček v násobiteli (včetně jedné jedničky v kuse). Čili:
Boothův algoritmus se drží tohoto postupu přičtením, pokud narazí na první číslici z posloupnosti jedniček (0 1), a odečtením, pokud narazí na konec posloupnosti (1 0). Toto funguje také pro záporný násobitel. Jestliže se jedničky v násobiteli vyskytují v dlouhých blocích za sebou, vykoná Boothův algoritmus méně přičítání a odečítání než normální multiplikační algoritmus
Historie Algoritmus byl vynalezen Andrewem Boothem v roce 1951 při výzkumu krystalografie na Univerzitě v Birkbecku. Booth používal kalkulátory, které měly rychlejší operaci posunu než sčítání, a vytvořil proto algoritmus, aby je urychlil.
Kategorie:Algoritmy