Dosažitelná kategorie je pojem z matematické teorie kategorií. Pokouší se popisovat kategorie z hlediska jejich „velikosti“, kardinálního počtu operací potřebných pro generování jejich objektů.

Teorie vychází z práce Alexandra Grothendiecka dokončené roku 1969, a knihy Gabriela a Ulmera z roku 1971. V roce 1989 teorii dále rozvinul Michael Makkai a Robert Paré, s motivací pocházející z teorie modelů, oboru matematické logiky. Standardní učebnice Jiřího Adámka a Jiřího Rosického vyšla v roce 1994. Dosažitelné kategorie mají aplikace také v teorii homotopií.J. Rosický "On combinatorial model categories", ArXiv, 16 August 2007. Retrieved on 19 January 2008.Rosický, J. "Injectivity and accessible categories." Cubo Matem. Educ 4 (2002): 201-211. Grothendieck pokračoval v rozvoji teorie pro použití v teorii homotopií ve svém (stále částečně nepublikovaném) rukopise Les dérivateurs z roku 1991. (Les Dérivateurs: Texte d'Alexandre Grothendieck. Édité par M. Künzer, J. Malgoire, G. Maltsiniotis) Některé vlastnosti dosažitelných kategorií závisejí na použité teorii množin, obzvláště na vlastnostech kardinálů a Vopěnkově principu.

-usměrněné kolimity a -prezentovatelné objekty Nechť je nekonečný regulární ordinál, tj. kardinální číslo, které není sumou menšího počtu menších kardinálů; příklady jsou (aleph-0), první nekonečné kardinální číslo, a , první nespočetný kardinál). Částečně uspořádaná množina se nazývá -usměrněná, pokud její každá podmnožina kardinality menší než má v horní mez. Konkrétně, běžné usměrněné množiny jsou právě -usměrněné množiny.

Nyní nechť je kategorie. Přímá limita (také známá jako usměrněná kolimita) nad -usměrněnou množinou se nazývá -usměrněná kolimita. Objekt z se nazývá -prezentovatelný, pokud Hom funktor zachovává všechny -usměrněné kolimity v . Je zřejmé, že každý -prezentovatelný objekt je také -prezentovatelný pro , protože každá -usměrněná kolimita je také -usměrněnou kolimitou. -prezentovatelný objekt se nazývá konečně prezentovatelný.

Příklady V kategorii Set všech množin odpovídají konečně prezentovatelné objekty konečným množinám. -prezentovatelné objekty jsou množiny kardinality menší než . V kategorii grup je objekt konečně prezentovatelný právě tehdy, když je konečně prezentovanou grupou, tj. pokud má prezentaci s konečným počtem generátorů a konečným počtem relací. Pro nespočetné regulární jsou -prezentovatelné objekty právě grupy s kardinalitou menší než . V kategorii levých -modulů nad některými (unitárními, asociativními) okruhy , konečně prezentovatelné objekty jsou právě konečně prezentované moduly.

-dosažitelné a lokálně prezentovatelné kategorie Kategorie se nazývá -dosažitelná právě tehdy, když:

všechny její kolimity jsou -usměrněné obsahuje množinu -prezentovatelných objektů takovou, že každý objekt z je -usměrněnou kolimitou objektů z .

-dosažitelná kategorie se nazývá konečně dosažitelná. Kategorie se nazývá dosažitelná, pokud je -dosažitelná pro nějaký nekonečný regulární kardinál . Když je dosažitelná kategorie také kokompletní, nazývá se lokálně prezentovatelná.

Funktor mezi -dosažitelnými kategoriemi se nazývá -dosažitelný, pokud zachovává -usměrněné kolimity.

Příklady Kategorie Set všech množin a funkcí je lokálně konečně prezentovatelná, protože každá množina je přímou limitou svých konečných podmnožin, a konečné množiny jsou konečně prezentovatelné. Pro každý okruh je kategorie -Mod (levých) -modulů lokálně konečně prezentovatelná. Kategorie simpliciálních množin je konečně dosažitelná. Kategorie Mod(T) modelů některých teorií prvního řádu T se spočetným podpisem je -dosažitelná. -prezentovatelné objekty jsou modely se spočetným počtem prvků. Dalšími příklady lokálně prezentovatelných kategorií jsou finitární algebraické kategorie (tj. kategorie odpovídajícím varietám algeber v univerzální algebře) a Grothendieckovy kategorie.

Věty Je možné ukázat, že každá lokálně prezentovatelné kategorie je také úplná. Navíc kategorie je lokálně prezentovatelná právě tehdy, když je ekvivalentní s kategorií modelů limitní skici.

Adjungované funktory mezi lokálně prezentovatelnými kategoriemi mají obzvláště jednoduchou charakterizaci. Funktor mezi lokálně prezentovatelnými kategoriemi:

je zleva adjungovaný právě tehdy, když zachovává malé kolimity, je zprava adjungovaný právě tehdy, když zachovává malé limity a je dosažitelný.

Odkazy

Poznámky

Reference

Kategorie:Teorie kategorií