Iniciální objekt kategorie je v matematickém oboru teorie kategorií objekt v takový, že pro každý objekt v , existuje právě jeden morfismus .

Duálním pojmem je terminální objekt (také nazývaný terminální prvek): je terminální, pokud pro každý objekt v existuje právě jeden morfismus . Iniciální objekty se také nazývají koterminál nebo univerzální, a terminální objekty se také nazývají finální.

Objekt, který je jak iniciální tak terminální, se nazývá nulový objekt.

Striktně iniciální objekt je takový objekt, pro který každý morfismus do je izomorfismem.

Příklady Prázdná množina je jediným iniciálním objektem v kategorii množin Set. Každá jednoprvková množina (singleton) je v této kategorii terminálním objektem; v kategorii Set neexistují žádné nulové objekty. Podobně je prázdný prostor jediným iniciálním objektem v kategorii topologických prostorů Top a každý jednobodový prostor je terminálním objektem v této kategorii. V kategorii množin a relací Rel je prázdná množina jediným iniciálním objektem a jediným terminálním objektem, a je tedy jediným nulovým objektem.

V kategorii grup Grp je libovolná triviální grupa nulovým objektem. Triviální objekt je nulovým objektem také v kategorii Abelových grup Ab, v kategorii pseudookruhů Rng, v kategorii modulů nad okruhem R-Mod a v kategorii vektorových prostorů nad tělesem K-Vect. Detaily viz Nulový objekt (algebra). Odtud pochází termín „nulový objekt“. V kategorii okruhů Ring s jednotkou a s jednotkou zachovávajícími morfismy je okruh celých čísel Z iniciálním objektem. Nulový okruh sestávající pouze z jediného prvku je terminálním objektem. V kategorii polookruhů Rig, s jednotkou a s jednotkou zachovávajícími morfismy je iniciálním objektem polookruh přirozených čísel N. Nulový polookruh, který je nulovým okruhem sestávajícím pouze z jediného prvku , je terminálním objektem. V kategorii polí (komutativních těles) Field neexistují žádné iniciální nebo terminální objekty. V podkategorii polí pevné charakteristiky je však prvotěleso iniciálním objektem. Libovolnou uspořádanou množinu lze interpretovat jako kategorii: jejími objekty jsou prvky množiny , a existuje jediný morfismus do právě tehdy, když . Tato kategorie má iniciální objekt právě tehdy, když má nejmenší prvek; a terminální objekt právě tehdy, když má největší prvek. Kategorie malých kategorií Cat s funktory jako morfismy má prázdnou kategorii, 0 (bez objektů a bez morfismů), jako iniciální objekt a terminální kategorie, 1 (s jediným objektem s jediný identickým morfismem), jako terminální objekt. V kategorii schémat Spec(Z) je prvočíselné spektrum okruhu celých čísel terminálním objektem. Prázdné schéma (rovné prvočíselnému spektru nulového okruhu) je iniciálním objektem. Limita diagramu F může být charakterizována jako terminální objekt v kategorii kuželů do F. Obdobně kolimita diagramu F může být charakterizována jako iniciální objekt v kategorii ko-kuželů z F. V kategorii ChR řetězových komplexů nad komutativním okruhem R, nulový komplex je nulovým objektem. V krátké exaktní posloupnost tvaru je iniciálním a terminálním objektem anonymní nulový objekt. Toho se často používá v teorii kohomologií.

Vlastnosti

Existence a jednoznačnost Iniciální a terminální objekty nemusí v určité kategorii vůbec existovat. Pokud však existují, jsou v podstatě jedinečné. Speciálně pokud a jsou dva různé iniciální objekty, pak mezi nimi existuje jediný izomorfismus. Pokud navíc je iniciálním objektem, pak libovolný objekt izomorfní s je také iniciální objekt. Totéž platí pro terminální objekty.

Pro úplné kategorie existuje věta o existenci iniciálních objektů. Speciálně (lokálně malá) úplná kategorie má iniciální objekt právě tehdy, když existuje množina (nikoli vlastní třída) a -indexovaná rodina objektů kategorie taková, že pro libovolný objekt kategorie , existuje alespoň jeden morfismus pro nějaké .

Ekvivalentní formulace Terminální objekty v kategorii je možné definovat také jako limity jedinečného prázdného diagramu . Protože prázdná kategorie je prázdná diskrétní kategorie, terminální objekt si lze představit jako prázdný součin (součin je skutečně limitou diskrétního diagramu , obecně). A naopak, iniciální objekt je kolimitou prázdného diagramu a lze si jej představit jako prázdný koprodukt nebo kategoriální součet.

Z toho plyne, že libovolný funktor, který zachovává limity, bude zobrazovat terminální objekty na terminální objekty, a libovolný funktor, který zachovává kolimity, bude zobrazovat iniciální objekty na iniciální objekty. Například iniciálním objektem v libovolné konkrétní kategorii s volnými objekty bude volný objekt generovaný prázdnou množinou (volný funktor zachovává kolimity, protože je zleva adjungovaný k zapomínajícímu funktoru do kategorie Set).

Iniciální a terminální objekty lze charakterizovat také z hlediska univerzální vlastnosti a adjungovaného funktoru. Nechť 1 je diskrétní kategorie s jediným objektem (označovaným symbolem •), a nechť je jedinečný (konstantní) funktor na 1. Pak Iniciální objekt v je univerzální morfismus z • do . Funktor, který zobrazuje • do , je zleva adjungovaný na U. Terminální objekt v je univerzální morfismus do •. Funktor, který zobrazuje • do , je zprava adjungovaný na .

Vztah k jiným kategoriálním konstrukcím Mnoho přirozených konstrukcí v teorie kategorií lze formulovat z hlediska hledání iniciálního nebo terminálního objekt ve vhodné kategorii.

Univerzální morfismus objektu do funktoru lze definovat jako iniciální objekt v čárkové kategorii . A naopak, univerzální morfismus do je terminálním objektem v . Limita diagramu je terminálním objektem v kategorie kuželů do . A naopak, kolimita diagramu je iniciálním objektem v kategorii kuželů z . Reprezentace funktoru do Set je iniciálním objektem v kategorii prvků funktoru . Pojem terminálního funktoru (resp. iniciálního funktoru) je zobecněním pojmu terminálního objektu (resp. iniciálního objektu).

Další vlastnosti Monoidový endomorfismus iniciálního nebo terminálního objektu je triviální: . Má-li kategorie nulový objekt , pak pro libovolnou dvojici objektů a z je jedinečná kompozice nulovým morfismem z do .

Odkazy

Reference

Tento článek vychází z článku s příklady iniciálních a terminálních objektů na PlanetMath.

Kategorie:Teorie kategorií