V matematice je objekt nebo zápis korektně definovaný, pokud mu definice přiřazuje jedinečnou interpretaci nebo hodnotu. V opačném případě říkáme, že objekt (zápis, výraz, …) není korektně definovaný, je špatně definovaný nebo je nejednoznačný. Zobrazení nebo funkce jsou korektně definované, pokud dávají stejný výsledek při změně reprezentace vstupu, která nemění vstupní hodnotu. Pokud by například parametrem funkce bylo reálné číslo, a pokud by nebylo rovno , pak by nebyla korektně definovanou funkcí (a proto by nebyla ani funkcí).Joseph J. Rotman, The Theory of Groups: an Introduction, p. 287 "... funkce musí mít "jedinou hodnotu," nebo, jak častěji říkáme, ... funkce je korektně definovaná.", Allyn and Bacon, 1965. Termín korektně definovaný se může také používat pro vyjádření, že logický výraz je jednoznačný a není kontradikcí.
„Funkce“, která není korektně definovaná, není totéž jako funkce, která je nedefinovaná. Pokud například , pak přestože není definováno, neznamená to, že funkce není definovaná korektně; pouze to znamená, že 0 není v definičním oboru funkce .
Příklad Nechť jsou množiny a . „Definujme“ jako pokud a pokud .
Funkce je korektně definovaná, pokud . Pokud například a , pak je definována korektně a rovna .
Pokud by však , pak by nebyla korektně definovaná, protože pro není jednoznačné. Pokud by například bylo a , pak by muselo být 0 i 1, takže aplikace by byla nejednoznačná a v důsledku toho by „funkce“ nebyla korektně definovaná, a proto o takto definovaném objektu nemůžeme říkat, že je to funkce.
„Definice“ jako anticipace definice Pro odstranění uvozovek okolo „Definujme“ v předchozím jednoduchém příkladě je možné „definici“ rozdělit na dva logické kroky:
Zatímco definice v kroku 1 je formulována s volností jakékoli definice a je určitě platná (bez potřeby ji klasifikovat jako „korektně definovanou“), tvrzení v kroku 2 je třeba dokázat. Tj. je funkce právě tehdy, když , a v tomto případě je korektně definovaná jako funkce.
Pokud by naopak množiny a nebyly disjunktní: , pak pro , bychom dostali, že a zároveň , takže binární relace není zobrazením a tedy není korektně definovaná jako funkce. Hovorově se „funkce“ také nazývá nejednoznačnou v bodě (i když podle definice žádná „nejednoznačná funkce“ neexistuje), a původní „definice“ je nesmyslná.
Navzdory těmto jemným logickým problémům, je zcela běžné „definice“ tohoto druhu nazývat definice (bez apostrofů), a to ze tří důvodů:
Poskytují praktickou zkratku dvoustupňového přístupu. Příslušné matematické dokazování (tj. krok 2) je v obou případech stejné. V matematických textech je tvrzení „na 100%“ pravdivé.
Nezávislost na výběru reprezentanta Pochybnosti o korektnosti definice funkce se často objevují, když se definice neodkazuje na samotné argumenty, ale na jejich prvky, které slouží jako reprezentanti. To bývá nevyhnutelné, když argumenty jsou třídy rozkladu, a když je definice postavena na reprezentantech tříd. Hodnota funkce v takovém případě nesmí záviset na volbě reprezentanta.
Funkce s jedním argumentem Uvažujme například funkci:
kde a jsou celá čísla modulo m a označuje shodnost tříd n mod m.
Poznámka: je odkaz na prvek , a je argument funkce .
Funkce je korektně definovaná, protože:
Protipříkladem je opačná definice:
která nevede ke korektně definované funkci, protože například se v rovná , ale by funkce zobrazila na , zatímco by bylo zobrazeno na , ale a nejsou v stejné.
Operace To, že je definice korektní se často prověřuje pro (binární) operace nad třídami ekvivalence. V tomto případě lze na operaci pohlížet jako na funkci dvou proměnných, a vlastnost být korektně definovaná je stejná jako v případě funkce. Například sčítání na množině celých čísel modulo nějaké n lze přirozeně definovat pomocí běžného sčítání celých čísel:
Skutečnost, že tato operace je korektně definovaná, vyplývá z toho, že libovolného reprezentanta můžeme zapsat jako , kde je celé číslo. Proto
Totéž platí pro libovolného reprezentanta , díky čemuž je stejné, bez ohledu na výběr reprezentanta.
Korektnost zápisu Zápis součinu bez závorek je pro reálná čísla jednoznačný, protože . Tato vlastnost nazývaná asociativita násobení zaručuje, že výsledek nezávisí na pořadí násobení; proto není nutné psát závorky pro vyznačení pořadí násobení, a zápis je korektní.. Operace odčítání asociativní není; ale existuje konvence, že zápis je zkratkou za , a proto i v tomto případě je zápis „korektní“. V případě dělení někteří autoři odmítají, že by existovala podobná konvence, a proto považují zápis za nekorektní.
Nejednoznačnosti zápisu lze odstranit doplňujícími definicemi (např. pravidly priority a stanovením asociativity operátorů). Například v programovacím jazyce C je binární operátor pro odčítání - asociativní zleva doprava, což znamená, že a-b-c je totéž jako (a-b)-c; a naopak operátor přiřazení = je asociativní zprava doleva, což znamená, že a=b=c je totéž jako a=(b=c). Programovací jazyk APL má na rozdíl od většiny programovacích jazyků jediné pravidlo: řetězené operace se vždy vyhodnocují zprava doleva, pokud není pořadí vyhodnocování předepsáno závorkami.
Jiná použití Českému korektně definovaný odpovídá v angličtině obrat well-defined, který má v angličtině i další význam do češtiny překládaný jako „dobře definované“ nebo „dobře fundované“: o řešení parciální diferenciální rovnice řekneme, že je dobře definované, pokud je spojitě určeno okrajovými podmínkami.
Odkazy
Poznámky
Reference
Literatura .
Související články Relace ekvivalence Definicionismus Existence Patologický (matematika) Jednoznačnost Kvantifikátor jednoznačné existence Nedefinovaný Dobře utvořená formule
Kategorie:Matematická terminologie