Produkt nebo součin (česká terminologie není jednotná, někteří autoři používají termín produkt, jiní součin) dvou (nebo více) objektů v kategorii je pojem v teorii kategorií navržený tak, aby zachycoval základy konstrukcí v jiných oblastech matematiky např. kartézský součin množin, přímý produkt grup nebo okruhů, a produkt topologických prostorů. V zásadě je produkt rodiny objektů „nejobecnější“ objekt, který připouští morfismus do každého z daných objektů.

Definice

Produkt dvou objektů Nechť je pevná kategorie. Nechť a jsou objekty kategorie Produkt objektů a je objekt typicky značený opatřený dvojicí morfismů které splňují následující univerzální vlastnost: Pro každý objekt a každou dvojici morfismů existuje jediný morfismus takový, že následující diagram komutuje: 280px|vpravo|Univerzální vlastnost produktu

Existence produktu může záviset na nebo na a Pokud však existuje, je díky univerzální vlastnosti unikátní až na kanonický izomorfismus, takže můžeme mluvit o jediném produktu. To znamená, že pokud je jiný produkt, pak existuje jediný izomorfismus takový, že a .

Morfismy a se nazývají kanonické projekce nebo projekční morfismy a obvykle se značí . Pro dané a se pak jediný morfismus nazývá produkt morfismů a a značí se

Produkt libovolné rodiny Místo dvou objektů můžeme pracovat s libovolnou rodinou objektů indexovaných množinou

Je-li dána rodina objektů, produkt rodiny je objekt opatřený morfismy splňující následující univerzální vlastnost: Pro každý objekt a každou rodinu morfismů indexovaných množinou existuje jediný morfismus takový, že následující diagramy komutuje pro všechna vpravo|Univerzální produkt produktu

Produkt se značí Pokud pak lze psát a produkt morfismů se značí

Definice pomocí rovnic Produkt může být také definován pomocí rovnic. Například binární produkt: Existence je zaručena existencí operace Komutativita výše uvedených diagramů je zaručena rovností: pro všechny a všechna Jednoznačnost je zaručena rovností: pro všechna

Jako limita Produkt je zvláštním případem limity. Můžeme to chápat tak, že jako diagram potřebný pro definici limity použijeme diskrétní kategorii (rodinu objektů bez morfismů kromě morfismů identity). Diskrétní objekty poslouží jako index komponent a projekcí. Budeme-li tento diagram považovat za funktor, jedná se o funktor z indexové množiny považované za diskrétní kategorii. Definice produktu se pak shoduje s definicí limity, je kužel a projekce jsou limity (= limitní kužel).

Univerzální vlastnost Stejně jako limita je produkt speciálním případem univerzální konstrukce. Vyjdeme-li z definice uvedené pro univerzální vlastnost limit, vezmeme jako diskrétní kategorii se dvěma objekty, takže je jednoduše produktová kategorie Diagonální funktor přiřadí každému objektu uspořádanou dvojici a každému morfismu dvojici Produkt v popisuje vztah univerzálního morfismu z funktoru na objekt v Tento univerzální morfismus sestává z objektu kategorie a morfismu který obsahuje projekce.

Příklady V kategorii množin Set je produkt (ve smyslu teorie kategorií) kartézský součin. Je-li dán systém množin produkt se definuje jako

s kanonickými projekcemi

Je-li dána libovolná množina s rodinou funkcí pak univerzální šipka je definována vztahem

Další příklady: V kategorii topologických prostorů je produkt prostor, jehož podkladovou množinou je kartézský součin a který nese produktovou topologii. Produktová topologie je nejhrubější topologie, pro níž jsou všechny projekce spojité. V kategorii modulů nad nějakým okruhem je produkt kartézský součin se sčítáním definovaným po složkách a distributivním násobením. V kategorii grup je produkt direktní produkt grup daný kartézským součinem s násobením definovaným po složkách. V kategorii grafů je produkt tenzorový produkt grafů. V kategorii relací popisuje produkt vztah disjunktního sjednocení. (Toto může vypadat překvapivé, protože kategorie množin je podkategorií kategorie relací.) V kategorii algebraických variet je produkt dán Segreho vložením. V kategorii semi-abelovských monoidů je produkt dán monoidem historie. V kategorii Banachových prostorů a krátkých zobrazení, produkt nese normu. Uspořádanou množinu lze považovat za kategorii, v níž je morfismem relace uspořádání. V tomto případě produkty odpovídají největší spodní mezi (průsek) a koprodukty nejmenší horní mezi (spojení).

Diskuze Příklad kategorie, ve které produkt neexistuje: v kategorii komutativních těles produkt neexistuje, protože neexistuje žádné těleso s homomorfismy do i do

Jiný příklad: prázdný produkt (tj. je prázdná množina) je totéž jako terminální objekt, a některé kategorie, např. kategorie nekonečných grup, terminální objekt nemají: je-li dána libovolná nekonečná grupa existuje nekonečně mnoho morfismů takže nemůže být terminální.

Pokud je množina taková, že všechny produkty pro rodiny indexované existují, pak můžeme každý produkt považovat za funktor Jak tento funktor převádí objekty je zjevné. Zobrazení morfismů patrné není, protože výše definovaný produkt morfismů nesedí. Nejdříve uvažujme funktor binárního produktu, který je bifunktorem. Pro musíme najít morfismus Zvolíme Tato operace na morfismech se nazývá kartézský součin morfismů. Potom uvažujme funktor obecného produktu. Pro rodiny musíme najít morfismus Zvolíme produkt morfismů

Kategorie, v níž každá konečná množina objektů má produkt, se někdy nazývá kartézská kategorie (někteří autoři však používají tento název pro „kategorii se všemi konečnými limitami“).

Produkt je asociativní. Předpokládejme, že je kartézské kategorie, produktové funktory byly zvoleny jako výše, a označuje terminální objekt kategorie Pak máme přirozené izomorfismy

Tyto vlastnosti jsou formálně podobné vlastnostem komutativního monoidu; kartézská kategorie s konečnými produkty je příkladem symetrické monoidální kategorie.

Distributivita

Pro libovolné objekty kategorie s konečnými produkty a koprodukty existuje kanonický morfismus kde symbol plus zde označuje koprodukt. Je to zřejmé, pokud si všimneme, že univerzální vlastnost koproduktu zaručuje existenci unikátních šipek, které vyhovují následujícímu diagramu (indukované šipky jsou čárkované):

400px|vpravo

Univerzální vlastnost produktu pak zaručuje jediný morfismus indukovaný čárkovanými šipkami v tomto diagramu. Distributivní kategorie je taková kategorie, ve které je tento morfismus izomorfismem. V distributivní kategorii tedy existuje kanonický izomorfismus

Odkazy

Reference

Literatura

Kapitola 5.

Definice 2.1.1 v

Související články Koprodukt – duální pojem k produktu Diagonální funktor – levý adjunkt produktového funktoru Limita (teorie kategorií) Ekvalizér (matematika) Inverzní limita Kartézsky uzavřená kategorie Pullback

Externí odkazy

Interactive Web page , která generuje příklady produktů v kategorii konečných množin. Autorem je Jocelyn Paine. Product v nLab

Kategorie:Limity (teorie kategorií)