V matematice pojem posloupnost funkcí označuje posloupnost, jejímž členy jsou funkce. Nejtypičtější jsou posloupnosti funkcí reálné proměnné. Studium posloupností funkcí je součástí funkcionální analýzy.
Definice Posloupností funkcí nazveme libovolné zobrazení z množiny přirozených čísel do množiny funkcí. Zapisujeme , kde je množina funkcí.
Nejčastěji se uvažuje o posloupnostech nad metrickými prostory funkcí jako je Lp prostor.
Konvergence posloupnosti funkcí Na posloupnostech funkcí se rozlišuje několik druhů konvergence – například posloupnost lineárních funkcí konverguje k nulové funkci bodově, ale ne stejnoměrně. Posloupnost funkcí konverguje bodově k funkci , pokud konverguje v každém bodě, tj. pro každé a každé existuje takové, že (a všechny následující) se od v bodě liší o méně než . Posloupnost konverguje stejnoměrně, pokud platí tatáž podmínka s tím rozdílem, že uvedené nezávisí na . Konverguje skoro všude, pokud bodově konverguje v každém bodě kromě množiny tak malé, že její míra (např. Lebesgueova míra) je nulová.Ukázkou definice může být zde: Konvergence řady funkcí: Tak jako zápis je zkratka pro limitu posloupnosti částečných součtů, tj. tak i je zkratka pro . Tato posloupnost částečných (funkčních) součtů může konvergovat stejnoměrně, bodově, skoro všude apod. Konečně pro každou topologickou strukturu na množině funkcí lze hovořit o konvergenci podle této topologie, přičemž se nijak nevyužívá, že objekty konvergence jsou funkce. Jinými slovy: na množině funkcí, stejně jako na každé jiné množině, libovolná topologická struktura definuje konvergenci.
Tyto definice lze zobecnit na konvergenci funkcí z jakékoli množiny do vhodné množiny :
Pro stejnoměrnou konvergenci je potřeba, aby byl metrický prostor nebo alespoň uniformní prostor. Pro bodovou konvergenci postačí topologický prostor. Pro konvergenci skoro všude musí navíc být dáno, jaké podmnožiny jsou „malé“ (typicky tím, že X je prostor s mírou). Konvergence řady je studována především v Banachových prostorech, protože je tam k dispozici sčítání a metrika a všechny cauchyovské posloupnosti tam mají limitu.
V metrických prostorech Definice bodové ani stejnoměrné konvergence reálných posloupností nijak nevyužívá toho, že definiční obory funkcí jsou právě reálná čísla. Proto je možné tyto pojmy zobecnit z funkcí z na funkce pro jakoukoli neprázdnou množinu , aniž bychom na vyžadovali nějakou dodatečnou strukturu, např. že to má být metrický prostor.
Skutečnost, že a jsou reálná čísla, není v podmínce (ani žádné další části definice) využita nad rámec toho, že lze stanovit jejich vzdálenost. Proto místo reálných čísel můžeme použít jakoukoli množinu s kteroukoli metrikou . Díky tomu lze pro libovolnou neprázdnou množinu a libovolný metrický prostor lze definovat, že posloupnost funkcí konverguje k funkci .
Bodově když .
Stejnoměrně když .
Tyto dvě definice se liší jen prohozením pořadí kvantifikátorů a , stejně jako u definice na reálných číslech, která je speciálním případem této obecnější definice. Pořadí kvantifikátorů je zde velmi důležité. Stejnoměrná konvergence je mnohem silnější a implikuje bodovou. Vztah mezi těmito konvergencemi popisuje Diniho věta.
Příklad vpravo|náhled|upright=ě.á|Příklad posloupnosti funkcí, která konverguje bodově, ale ne stejnoměrně. Mějme a supremovou metriku . Tato posloupnost konverguje bodově k funkci , protože pro každé a se dá snadno najít index, od kterého bude podmínka splněna. Avšak nekonverguje stejnoměrně, protože bychom hledali takové , že , ale v pro jakékoliv n, protože v je bod nespojitosti g(x).
V topologických prostorech Topologický prostor Y nemá definované nic obdobného metrice, pouze nese informaci o otevřených množinách na . Ne všechny topologické prostory jsou metrizovatelné (tj. lze na nich definovat metriku).
Bez konkrétní metriky na nelze hovořit o stejnoměrné konvergenci, topologie. Říkáme, že posloupnost funkcí z množiny do topologického prostoru k funkci konverguje bodově, pokud pro každé posloupnost bodů z konverguje k .
Formálně zapsáno: Necht’ je topologický prostor, je posloupnost bodů z a . Jestliže ke každému okolí bodu existuje index takový, že pro všechna , řekneme, že posloupnost konverguje k bodu a píšeme v nebo .
V uniformních prostorech
K zavedení pojmu stejnoměrné konvergence funkcí z do nestačí, aby byl pouze topologický prostor, topologická struktura, k tomu neposkytuje dostatek informací. Na druhou stranu není nutné mít tak detailní strukturu, jakou poskytuje metrický prostor. Proto vznikl pojem uniformní prostor, který obsahuje právě informaci k tomu potřebnou.
Pro neprázdnou množinu , uniformní prostor a množinu funkcí z do se říká, že stejnoměrně konverguje k funkci , pokud ke každému existuje , takové že pro všechna a platí .
Odkazy
Poznámky
Reference
Kategorie:Funkcionální analýza Kategorie:Matematické řady Kategorie:Konvergence (matematika)