Von Mangoldtova funkce je aritmetická funkce pojmenovaná po německém matematikovi Hansi von Mangoldtovi. Jedná se o významnou funkci v teorii čísel, která není multiplikativní, ani aditivní.

Definice Von Mangoldtova funkce je aritmetická funkce , definovaná předpisem

Zde označuje přirozený logaritmus, tj. logaritmus o základu .

Funkce tedy nabývá nenulových hodnot právě na přirozených číslech, která jsou mocninami prvočísel. V těchto případech je hodnota rovna logaritmu příslušného prvočísla.

Prvních 10 hodnot funkce :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vlastnosti Von Mangoldtova funkce není ani multiplikativní, ani aditivní.

Budiž příkladem ne-multiplikativnosti:

A příkladem ne-aditivnosti:

Součet hodnot přes dělitele:

Pro každé přirozené číslo platí následující rovnost:

Tento vztah vyjadřuje, že součet hodnot Von Mangoldtovy funkce přes všechny dělitele čísla odpovídá přirozenému logaritmu .

Vyjádření pomocí Möbiovy funkce:

Von Mangoldtova funkce má také vyjádření pomocí Möbiovy funkce , která je klíčová v teorii aritmetických funkcí:

kde označuje Möbiovu funkci. Tento vzorec je inverzí předchozí rovnosti pomocí Möbiovy inverzní formule.

Reference

Související články Möbiovy funkce Prvočíselná funkce

Kategorie:Aritmetické funkce Kategorie:Teorie čísel