Kovariance a kontravariance jsou pojmy používané v matematice (zejména v lineární algebře, diferenciální geometrii a tenzorové analýze) a ve fyzice k popisu toho, jak se složky geometrických objektů (např. skaláry, vektory, tenzory nebo bilineární formy) mění při změně báze nebo souřadnic.

Kontravariantní složky se při změně báze transformují pomocí inverzní transformace, zatímco kovariantní složky se transformují stejným způsobem jako báze.

V prostorech vybavených metrickým tenzorem lze mezi kovariantními a kontravariantními složkami přecházet pomocí operace zvyšování a snižování indexů (tzv. indexová dualita).

Pojmy kovariance a kontravariance zavedl v roce 1853 James Joseph Sylvester v souvislosti se studiem algebraické teorie invariantů.

Kontravariantní a kovariantní složky Vektor (resp. tečný vektor) má složky, které se při změně báze transformují kontravariantně, tj. pomocí inverzní transformační matice k té, která převádí bázové vektory. Tím je zajištěno, že samotný geometrický objekt (vektor) zůstává nezávislý na volbě báze. V Einsteinově sumační konvenci se kontravariantní složky označují horními indexy, například .

Kovektor (prvek duálního prostoru, např. gradient) má složky, které se při změně báze transformují kovariantně, tedy stejnou transformační maticí jako báze vektorového prostoru. V Einsteinově notaci se kovariantní složky označují dolními indexy, například .

Přirozené párování vektoru a kovektoru dává skalární veličinu , která je invariantní vůči změně báze. Toto párování vyjadřuje dualitu mezi vektorovým a duálním prostorem.

Příklad změny báze Uvažujme dvourozměrný vektorový prostor s bází a vektorem . Změňme bázi na , kde nové bázové vektory jsou dány lineární transformací . (je použita Einsteinova sumační konvence).

Aby zůstal vektor stejným geometrickým objektem, musí se jeho složky transformovat kontravariantně: .

Naopak složky kovektoru se transformují kovariantně: .

Jejich párování zůstává invariantní vůči změně báze.

Odkazy

Reference

Související články Vektor Tenzor Lineární algebra Diferenciální geometrie Kovektor Duální prostor Kategorie:Diferenciální geometrie Kategorie:Vektory Kategorie:Riemannova geometrie