náhled|320px|Kruskalův diagram maximálně rozšířeného Schwarzschildova prostoročasu.
Kruskalovy–Szekeresovy souřadnice jsou soustava souřadnic používaná v obecné teorii relativity k úplnému popisu maximálně analyticky rozšířeného Schwarzschildova řešení Einsteinových rovnic gravitačního pole. Odstraňují zdánlivou singularitu Schwarzschildových souřadnic na Schwarzschildově poloměru a umožňují popsat globální kauzální strukturu prostoročasu obsahujícího černou díru.
Souřadnice byly nezávisle odvozeny Martinem Kruskalem a Georgem Szekeresem v roce 1960.
Tyto souřadnice umožňují spojité rozšíření Schwarzschildova řešení přes horizont událostí a tvoří základ pro konstrukci odpovídajícího Penroseova diagramu.
Problém Schwarzschildovy singularity Ve standardních Schwarzschildových souřadnicích má Schwarzschildova metrika tvar:
Při hodnotě
se některé složky metrického tenzoru stávají singulárními. Tato singularita však není fyzikální, ale pouze souřadnicovou singularitou, vznikající nevhodnou volbou souřadnic.
Po zavedení Kruskalových–Szekeresových souřadnic zůstává metrika regulární pro všechna ; jediná skutečná singularita Schwarzschildova řešení se nachází v bodě . Tyto souřadnice pak umožňují analytické pokračování řešení přes horizont událostí.
Transformace ze Schwarzschildových souřadnic náhled|vpravo|upright=1.2|Animace Kruskalova–Szekeresova diagramu. Modré hyperboly znázorňují plochy konstantní Schwarzschildovy radiální souřadnice; v jednotlivých snímcích jejich hodnota klesá až k singularitě.
Kruskalovy–Szekeresovy souřadnice se zavádějí jako transformace standardních Schwarzschildových souřadnic , která odstraňuje souřadnicovou singularitu na horizontu událostí odpovídajícím Schwarzschildovu poloměru.
Nejprve se zavádí tzv. Reggeho–Wheelerova souřadnice, kterou zavedli Tullio Regge a John Wheeler v článku z roku 1957.
a následně izotropní souřadnice
Tuto Konstrukci lze chápat jako další rozšíření Eddingtonových–Finkelsteinových souřadnic, které umožňují pokrýt celý maximálně rozšířený Schwarzschildův prostoročas.
Kruskalovy–Szekeresovy souřadnice jsou pak definovány vztahy
ve kterých Schwarzschildova metrika přechází do tvaru regulárního na horizontu událostí.
V těchto souřadnicích lze Schwarzschildovo řešení analyticky pokračovat i do oblastí, které nejsou ve standardních Schwarzschildových souřadnicích pokryty.
Maximálně rozšířené Schwarzschildovo řešení náhled|vpravo|upright=1.2|Animace znázorňující analytické rozšíření Schwarzschildova řešení po zavedení Kruskalových–Szekeresových souřadnic.
Kruskalovy–Szekeresovy souřadnice umožňují analytické pokračování Schwarzschildova řešení přes horizont událostí a poskytují jeho maximální analytické rozšíření.
Takto rozšířený prostoročas lze rozdělit na čtyři kauzálně odlišné oblasti: dvě asymptoticky ploché vnější oblasti a dvě vnitřní oblasti odpovídající černé a bílé díře. Jednotlivé oblasti jsou odděleny nulovými hyperplochami tvořícími horizonty událostí.
V maximálně rozšíšeném řešení se objevují dvě singularity odpovídající hodnotě , z nichž jedna představuje budoucí singularitu černé díry a druhá její časově obrácený protějšek odpovídající bílé díře.
Tato struktura představuje idealizovaný matematický model věčně existující Schwarzschildovy černé díry a obecně neodpovídá reálným astrofyzikálním objektům vznikajícím gravitačním kolapsem.
Odkazy
Reference
Související články Penroseův diagram Obecná teorie relativity Černá díra Schwarzschildova metrika
Kategorie:Obecná teorie relativity Kategorie:Černé díry Kategorie:Teoretická fyzika