Cassiniho ovál je v geometrii rovinná algebraická křivka čtvrtého stupně definovaná jako geometrické místo bodů v rovině, pro které je součin vzdáleností od dvou pevných bodů (ohnisek) konstantní. To lze porovnat s elipsou, u níž je konstantní součet vzdáleností, nikoliv jejich součin.

Křivky jsou pojmenovány po astronomovi Giovannim Domenicu Cassinim, který je studoval na konci 17. století. Cassini se domníval, že planeta obíhající kolem jiného tělesa se pohybuje po jednom z těchto oválů, přičemž těleso, kolem kterého obíhá, se nachází v jednom z ohnisek. Mezi další názvy patří Cassiniho křivka.

Definice 250px|náhled|Definice Cassiniho oválu: pro libovolný bod P na křivce. Cassiniho ovál je množina bodů taková, že pro každý bod této množiny je součin vzdáleností ke dvěma pevným bodům roven konstantě, obvykle zapsané jako , kde :

Stejně jako u elipsy se pevné body nazývají ohniska Cassiniho oválu.

Rovnice Pokud jsou ohniska umístěna v bodech a , pak je rovnice křivky v kartézských souřadnicích dána vztahem:

Po roznásobení výraz získá podobu:

Ekvivalentní rovnice v polárních souřadnicích je:

Tvar křivky 300px|náhled|Různé tvary Cassiniho oválů v závislosti na parametru b. Tvar křivky závisí na poměru . Když je (tj. ), křivka se skládá ze dvou oddělených smyček, z nichž každá obsahuje jedno ohnisko. Když je (tj. ), křivka je Bernoulliho lemniskáta mající tvar ležaté osmičky s dvojným bodem v počátku souřadnic. Když je (tj. ), křivka tvoří jedinou souvislou smyčku obklopující obě ohniska. Pro má křivka tvar „burského oříšku“ (uprostřed je prohnutá dovnitř). Pro je křivka konvexní. Limitní případ (při němž ), kdy ohniska splývají, odpovídá kružnici.

Ortogonální trajektorie 250px|náhled|Cassiniho ovály a jejich ortogonální trajektorie (hyperboly). Ortogonální trajektorie daného svazku křivek jsou křivky, které protínají všechny křivky daného svazku kolmo. Pro Cassiniho ovály platí: Ortogonálními trajektoriemi Cassiniho oválů s ohnisky jsou rovnoosé hyperboly procházející body se stejným středem jako dané ovály.

Cassiniho ovály jako řezy toru Cassiniho ovály se objevují jako rovinné řezy torem (anuloidem), ale pouze tehdy, když: rovina řezu je rovnoběžná s osou toru, vzdálenost roviny od osy toru je rovna poloměru tvořící kružnice toru. Takové řezy patří mezi tzv. spirické sekce.

Odkazy

Související články Elipsa Bernoulliho lemniskáta Torus

Reference

Kategorie:Křivky Kategorie:Algebraické křivky Kategorie:Elementární geometrie