náhled|vpravo|Všechny povolené transformace Rubikovy kostky tvoří grupu Grupa je v matematice algebraická struktura tvořená množinou (nosičem) spolu s úplnou binární operací, která je asociativní, má neutrální prvek a každý prvek má svůj inverzní prvek. Matematická disciplína zabývající se studiem grup se nazývá teorie grup. Příkladem grup jsou celá čísla s operací sčítání, nenulová racionální čísla s operací násobení, symetrie pravidelných geometrických útvarů, množiny regulárních matic a automorfismy různých algebraických struktur.
Teorie grup vznikla počátkem 19. století. U jejího zrodu stál matematik Évariste Galois, který pomocí grup podal elegantní důkaz, že polynomiální rovnice nelze obecně řešit pomocí odmocnin. Grupy našly později uplatnění také v geometrii, teorii čísel, algebraické topologii a dalších matematických oborech. Klasifikace jednoduchých konečných grup byla dokončena koncem 20. století a patří k největším výsledkům matematiky vůbec.
Pojem grupy abstraktně popisuje či zobecňuje mnoho matematických objektů a má významné uplatnění i v příbuzných oborech – ve fyzice, informatice a chemii. Reprezentace grup hrají důležitou úlohu v teoriích jako jsou částicová fyzika, kvantová teorie pole anebo teorie strun. V informatice se grupy vyskytují například v kryptografii, kódování anebo zpracování obrazu, chemie používá grupy pro popis symetrií molekul a krystalových mřížek v krystalografii.
Definice grupy náhled|Schéma vztahů mezi algebraickými strukturami. Výchozí je grupoid (anglicky magma) s jednou uzavřenou operací. Přidáváním dalších podmínek vznikají např. pologrupa (semigroup) a kvazigrupa (quasigroup).
Grupou nazýváme množinu spolu s binární operací na ní, která se nazývá grupová operace. Tato operace libovolným dvěma prvkům grupy přiřazuje prvek téže grupy . Značení grupové operace se v literatuře liší. Obvykle se značí jako násobení , resp. jenom , v Abelových grupách často jako sčítání , a někdy také pomocí dalších symbolů (, resp. ). Podle kontextu říkáme, že je složení, resp. součin, resp. součet prvků a . Dále se v definici grupy požaduje, aby grupová operace splňovala určité vlastnosti, které se nazývají axiomy grupy.
Uzavřenost
Pro všechny prvky v je i složení prvkem .Tento axiom je implicitně obsažen v tom, že je binární operace na a někdy se proto vynechává.
Asociativita
Pro všechny prvky grupy platí , tj. výsledek složení tří prvků nezávisí na umístění závorek.Výsledek složení více než dvou prvků grupy tedy nezávisí na pořadí, v kterém opakující se binární operaci vyhodnocujeme. Výraz znamená, že nejdříve spočítáme a tento výsledek vynásobíme zprava . Výraz znamená, že nejdříve spočítáme a tento výsledek vynásobíme zleva . Díky tomu má smysl psát složení tří a více prvků i bez závorek.
Existence neutrálního prvku
Existuje prvek takový, že pro všechna platí . Tento prvek se nazývá neutrální prvek anebo jednotkový prvek a značí se také , resp. .Často používané písmeno je odvozeno z německého Einheit, viz Identity Element na Wolfram mathword.
Existence inverzního prvku
Pro každý prvek grupy existuje prvek takový, že , tj. jejich složení v libovolném pořadí je rovno neutrálnímu prvku . Prvek se také nazývá inverzní prvek k a značí se . Lze ukázat, že neutrální prvek je v grupě jenom jeden a že inverzní prvek k je dán jednoznačně.
V grupách obecně záleží na pořadí, ve kterém prvky skládáme, tj. obecně nemusí platit . Grupa, ve které tato rovnost platí pro všechna , se nazývá komutativní grupa nebo také Abelova grupa.
Množina z této definice se označuje jako nosič nebo nosná množina grupy. Označíme-li operaci jako sčítání , mluvíme o aditivní grupě a píšeme . Obvykle se používá aditivní notace pro grupy Abelovy a neutrální prvek se pak zapisuje jako . Označíme-li operaci jako násobení , hovoříme o multiplikativní grupě a píšeme . V takovém případě se často znak nepíše a součin prvků se značí jako . Neutrální prvek multiplikativní grupy se obvykle značí jako .
Definice pomocí tří operací Ekvivalentně lze grupu definovat pomocí nulární operace (tj. konstanty) představující neutrální prvek, unární operace −1, která každému prvku přiřadí prvek k němu inverzní, a binární operace, které splňují axiomy uvedené výše. Místo označení „grupa “ se pak používá označení „grupa “. Axiomy grupy lze pak přepsat do výroků, které neobsahují existenční kvantifikátory. Třída všech grup proto je varieta, a tak lze na grupy vztáhnout mnohé výsledky dokázané v univerzální algebře.
Ilustrativní příklady Celá čísla Známým příkladem grupy je množina celých čísel spolu s operací sčítání.
Operace sčítání je na této množině binární operace, protože součtem dvou celých čísel je opět celé číslo. Sčítání je asociativní, Nula je neutrální prvek, protože pro každé celé číslo a platí Pro každé celé číslo existuje opačné číslo , . Axiomy jsou tedy splněny. Tato grupa se obvykle značí .
Dihedrální grupa D4
Symetrie čtverce jsou definovány jako rotace, zrcadlení resp. jejich složení, které převádí čtverec sám na sebe. Množina všech takových symetrií tvoří grupu, která má osm prvků a značí se D4. Následuje popis těchto symetrií: 140px id (identita) 140px r1 (rotace o 90° doprava) 140px r2 (rotace o 180° doprava) 140px r3 (rotace o 270° doprava) 140px fv (vertikální překlopení) 140px fh (horizontální překlopení) 140px fd (diagonální překlopení) 140px fc (anti-diagonální překlopení) Prvky grupy symetrií čtverce (D4). Vrcholy jsou očíslovány a obarveny jenom za účelem vizualizace operací. + Násobení v grupě D4 • id r1 r2 r3 fv fh fd fc id id r1 r2 r3 fv fh fd fc r1 r1 r2 r3 id fc fd fv fh r2 r2 r3 id r1 fh fv fc fd r3 r3 id r1 r2 fd fc fh fv fv fv fd fh fc id r2 r1 r3 fh fh fc fv fd r2 id r3 r1 fd fd fh fc fv r3 r1 id r2 fc fc fv fd fh r1 r3 r2 id Prvky id, r1, r2 a r3 tvoří podgrupu, zvýrazněnou červeně (levá horní oblast). Prvek levé a pravé třídy rozkladu podle této podgrupy je zvýrazněna zelenou (v posledním řádku) a žlutou (v posledním sloupci). Identita (id) nechává čtverec nezměněn Rotace čtverce o 90°, 180°, a 270° doprava ( a ) Překlopení (také reflexe nebo zrcadlení) kolem vertikální a horizontální střední úsečky ( a ), a kolem dvou diagonál ( a ).
Binární operaci v této grupě definujeme jako skládání zobrazení: osm symetrií jsou zobrazení ze čtverce na čtverec a dvě symetrie se dají složit do nové symetrie. Je zřejmé, že výsledek bude opět symetrie čtverce. Výsledek operace „nejdříve a pak “ se obvykle značí zprava doleva jako . Podobné značení se totiž používá pro skládání zobrazení. Například .
Tabulka vpravo znázorňuje výsledky všech možných složení. Například výsledek složení rotace o 270° doprava () a horizontálního překlopení () je stejný jako překlopení kolem diagonály (). Formálně,
což je v tabulce zvýrazněno modrou barvou. Vidíme také, že grupa není komutativní, neboť například
Dějiny náhled|vpravo|Évariste Galois ve věku 15 let. Přestože zemřel dvacetiletý, je považován za jednoho ze zakladatelů teorie grup Koncept grupy se vyvinul z různých oblastí matematiky. Původní motivace pro teorii grup byla snaha řešit polynomiální rovnice stupně vyššího než 4. Kvadratické rovnice uměli lidé řešit už v starověkých civilizacích.The History Behind The Quadratic Formula Lodovico Ferrari uměl řešit polynomiální rovnice stupně 3 a 4 kolem roku 1540,O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., Lodovico Ferrari, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews. řešení publikoval spolu s Gerolamo Cardanem v knize Ars Magna v roce 1545. Pro polynomiální rovnice vyššího stupně však obecně nelze řešení vyjádřit vzorcem obsahujícím pouze konečný počet sčítání, odčítání, násobení, dělení a odmocnin. Historickou terminologií se jedná o nalezení řešení pomocí radikálů, moderní terminologie mluví o algebraicky řešitelné rovnici. Počátkem 19. století francouzský matematik Évariste Galois, navazuje na starší práce Ruffiniho a Lagrangeho, nalezl kritérium pro algebraickou řešitelnost polynomiálních rovnic. Existence takového řešení závisí na grupě symetrií kořenů daného polynomu. Tato grupa se dnes nazývá Galoisova grupa a její prvky jsou jisté permutace kořenů.
Galoisovy myšlenky byly jeho současníky odmítnuty a publikovány až posmrtně. (Galoisovo dílo bylo prvně publikováno Josephem Liouvillem v roce 1843)Kleiner, str. 202 Obecnější permutační grupy byly zkoumány Augustinem Cauchym. První definici konečné grupy a také název „grupa“ zavedl Arthur Cayley v publikaci On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (1854).
Geometrie byla druhou oblastí, ve které byly grupy systematicky využívány, hlavně grupy symetrií geometrických prostorů zavedené Felixem Kleinem v Erlangenském programu v roce 1872.Wussig, §III.2 Klein využil teorii grup pro popis a kategorizaci nově se objevivších geometrií jako hyperbolická geometrie, projektivní geometrie a starší Eukleidova geometrie. Dále tento koncept rozvinul Sophus Lie, který zavedl Lieovy grupy v roce 1884..
Třetí oblast, která přispěla ke vzniku a rozšíření teorie grup, byla teorie čísel. Jisté struktury odpovídající Abelovým grupám byly implicitně použity v Gaussově číselně teoretickém díle Disquisitiones Arithmeticae a explicitněji je používal i Leopold Kronecker.Kleiner, str. 204 V roce 1847 Ernst Kummer v raných pokusech dokázat Velkou Fermatovu větu zavedl grupy popisující faktorizaci na prvočísla.Wussig, §I.3.4
Spojování těchto přístupů do jednotné teorie grup začalo Jordanovou publikací Traité des substitutions et des équations algébriques (1870). Walther von Dyck (1882) zavedl první moderní definici grupy.
Počátkem 20. století získaly grupy široké přijetí díky práci Ferdinanda Frobenia a Williama Burnsidea, kteří pracovali na teorii reprezentací konečných grup, a také díky článkům Richarda Brauera (modulární teorie reprezentací) a Issaie Schura.. Teorie Lieových grup a obecněji lokálně kompaktních grup byla publikována Hermannem Weylem, Élie Cartanem a mnoha dalšími. Její algebraický protějšek, teorie algebraických grup, byla prvně popsána Chevalleyem (koncem 30. let) a později Armandem Borelem a Jacquesem Titsem.
V letech 1960–61 zorganizovala Univerzita v Chicagu Rok teorie grup a teoretici jako Daniel Gorenstein, John G. Thompson a Walter Feit založili spolupráci, která s přispěním mnohých jiných matematiků vedla ke klasifikaci jednoduchých konečných grup v roce 1982. Tento projekt předčil svým rozsahem předchozí matematické spolupráce, a to jak délkou důkazů, tak počtem zapojených matematiků. Ačkoliv je klasifikace hotova, výzkum pokračuje s cílem zjednodušit důkaz této klasifikace. I v současnosti je teorie grup rozvíjející se oblast matematiky, která ovlivňuje řadu souvisejících teorií.
Základní pojmy V této kapitole budeme pro grupovou operaci používat symbol pro součin (), složení prvků a budeme značit . V případě Abelových grup budeme používat symbol pro součet () a psát .
Řád prvku a grupy Řádem grupy se nazývá mohutnost její nosné množiny.
Řádem prvku se nazývá nejmenší přirozené číslo takové, že (součin krát prvku ) anebo , pokud takové neexistuje.
Cyklická grupa vpravo|náhled|220px|Množina komplexních šestých odmocnin z jednotky tvoří šestiprvkovou cyklickou grupu. Například je její generátor, ale není, neboť liché mocniny nejsou mocniny .
Grupa se nazývá cyklická, pokud je generována jedním prvkem. To znamená, že existuje prvek takový, že každý prvek lze napsat jako pro nějaké celé číslo . Výraz znamená, že prvek je vynásoben sám se sebou krát, a znamená, že je prvek vynásoben sám se sebou krát pro nějaké přirozené číslo . Konečnou cyklickou grupu řádu lze reprezentovat množinou řešení rovnice v komplexní rovině, což je pro znázorněno na obrázku. Grupové násobení je pak obyčejné násobení komplexních čísel. Jinou reprezentaci představuje množina zbytkových tříd spolu se sčítáním modulo .
Pokud je cyklická grupa nekonečná, je izomorfní grupě celých čísel . Pokud je konečná a má prvků, je izomorfní množině zbytkových tříd .