náhled| Matice typu : obsahuje vodorovných řádků a svislých sloupců. Prvky matice se značí proměnnou se dvěma dolními indexy. Například představuje prvek na druhém řádku a v prvním sloupci matice. Matice je v matematice obdélníkové či čtvercové schéma čísel nebo nějakých matematických objektů – prvků matice (též elementů matice).
Nejsou-li uvedeny další podrobnosti, reprezentují matice lineární zobrazení a umožňují provádět výpočty v lineární algebře. Proto je studium matic podstatnou částí lineární algebry. Většinu vlastností a operací abstraktní lineární algebry lze vyjádřit pomocí matic. Například maticový součin odpovídá skládání lineárních zobrazení.
Část matematiky, která využívá matice, je označována jako maticový počet.
Ne všechny matice souvisí s lineární algebrou, například matice incidence a matice sousednosti v teorii grafů. Tento článek se zaměřuje na matice související s lineární algebrou, a pokud není uvedeno jinak, všechny matice představují lineární zobrazení nebo je za takové lze považovat.
Čtvercové matice, matice se stejným počtem řádků a sloupců, hrají podstatnou roli v teorii matic. Čtvercové matice dané dimenze tvoří nekomutativní okruh, což je jeden z nejběžnějších příkladů nekomutativního okruhu. Determinant čtvercové matice je číslo spojené s maticí, které je zásadní pro studium čtvercových matic; například čtvercová matice je regulární, právě když má nenulový determinant. Vlastní čísla čtvercové matice jsou kořeny charakteristického polynomu, který je definován pomocí determinantu.
V geometrii jsou matice používány pro popis a reprezentaci geometrických transformací (například rotací) a změn souřadnic . V numerické analýze je mnoho výpočetních problémů redukováno na maticový výpočet, což často vyžaduje výpočet na počítači s maticemi velkých rozměrů. Matice se používají ve většině oblastí matematiky a ve většině vědeckých oborů, a to buď přímo, nebo prostřednictvím jejich použití v geometrii a numerické analýze.
Matice se často využívají pro vyjádření obecné rotace vektorů, transformace vektorů od jedné báze k bázi jiné, k řešení soustav lineárních rovnic, či k vyjádření operátorů v kvantové mechanice. Schopnost matic vyjadřovat vztahy mezi vektory se využívá v materiálovém inženýrství při studiu anizotropních materiálů.
Definice
Matice je obdélníkové schéma čísel (nebo jiných matematických objektů), nazývané prvky matice. Nejčastěji je matice vybudována nad nějakým algebraickým tělesem . Reálné a případně komplexní matice jsou matice, jejichž položky jsou reálná nebo komplexní čísla. Ukázkou reálné matice je:
Čísla, symboly nebo výrazy v matici se nazývají její prvky. Vodorovné a svislé posloupnosti prvků matice se nazývají řádky a sloupce.
Rozměr
Rozměr matice je definován počtem řádků a sloupců, které obsahuje. Neexistuje žádné omezení počtu řádků a sloupců, které může matice (v obvyklém smyslu) mít, pokud se jedná o kladná celá čísla. Obsahuje-li matice řádků a sloupců, hovoříme pak o matici typu , zatímco a se nazývají její rozměry. Například matice výše je matice typu .
Matice typu je tvořena jedním řádkem a bývá nazývána řádkový vektor případně řádková matice. Matice s jedním sloupcem se nazývá (sloupcový) vektor, případně sloupcová matice.
Je-li , pak matici označujeme jako čtvercovou matici -tého řádu (stupně). Pro bývá matice označována jako obdélníková.
Jsou-li i konečná čísla, označujeme matici jako konečnou. Matice s nekonečným počtem řádků nebo sloupců (nebo obojí) se nazývá nekonečná matice. V některých kontextech je užitečné dodefinovat i matici bez řádků nebo sloupců, nazývanou prázdná matice.
Značení
Maticová notace se značně liší. Matice jsou běžně psány v oblých či hranatých závorkách, takže matici typu lze zapsat
Matice jsou v učebnicích a technické matematice zpravidla značeny velkými tučnými písmeny , apod. Ve vyšší matematice a odborné matematické literatuře se od zvýrazňování zpravidla upouští a matice se značí tence, např. nebo .
Jsou-li rozměry matice zřejmé, je možné použít jednoduchého zápisu . Potřebujeme-li zdůraznit počet řádků a sloupců, lze také použít zápis nebo
Prvky matice jsou označeny indexy udávajícími řádek a sloupec, v nichž se prvek nalézá. Prvek v -tém řádku a -tém sloupci matice se obvykle značí , případně . Druhá notace se používá, zejména je-li matice popsána složitějším výrazem, např. pomocí maticových operací. Nyní -tý řádek matice obsahuje vodorovnou -tici prvků , kde a -tý sloupec matice obsahuje svislou -tici čísel , kde .
Např. leží v pátém řádku a třetím sloupci. Indexy se píší buďto oba dole jako , nebo první nahoře a druhý dole jako , což má význam, jakmile je potřeba rozlišovat kovariantní a kontravariantní indexy, zejména operujeme-li s maticemi jako s tenzory.
Tvoří-li indexy více než dva symboly, je třeba je oddělit čárkou, např. nebo .
Ukázka Matice
je obdélníková matice typu . Prvek matice nebo je 7.
Pokud jsou všechny prvky matice nulové, tzn. pro všechna , označujeme matici jako nulovou. Operace s maticemi
Součet, skalární násobek a transpozice
+Operace na maticích Operace Definice Příklad Součet Součet dvou matic a typu je matice typu , přičemž sčítání probíhá po složkách:
pro a . Skalární násobek -násobek matice , pro číslo (nazývané skalár) a matici , se spočítá vynásobením každého prvku matice číslem : Transpozice Transpozicí matice typu získáme transponovanou matici typu , která vznikne záměnou řádků a sloupců: .
náhled|Schéma součinu dvou matic a . Součin matic
Součin dvou matic je definován pouze pokud má levá matice stejný počet sloupců jako má pravá matice řádků. Pokud je matice typu a je matice typu , pak jejich součin je matice typu , jejíž prvky jsou standardním skalárním součinem příslušného řádku a příslušného sloupce
kde a .
Například zvýrazněný prvek součinu se spočítá jako
Maticový součin je asociativní, neboli splňuje rovnost . Je také distributivní vůči součtu zleva i zprava, čili a , pokud mají matice takové rozměry, aby součiny byly definovány.
Součin může být definován, aniž by měl smysl součin , a to v případě, pokud a jsou matice typu a , kde . I když jsou oba součiny definovány, nemusí být stejné, neboli existují příklady matic, pro něž platí
Maticový součin není komutativní, na rozdíl od součinu (racionálních, reálných, nebo komplexních) čísel. Příklad dvou matic, jejichž součin nekomutuje: zatímco
Mimo obvyklý maticový součin existují ještě jiné operace s maticemi, které lze považovat za určitý druh součinu, jako například Hadamardův součin anebo Kroneckerův součin.
Další operace s maticemi
Rovnost O dvou maticích a prohlásíme, že jsou si rovny, pokud jsou stejného typu (stejný počet řádků i sloupců) a každý prvek matice je roven odpovídajícímu prvku matice . Rovnost zapíšeme
Rozdíl Rozdíl dvou matic a (stejného typu) je nová matice :
Prvky matice jsou pak určeny vztahem
Lineární kombinace Obecně lze pro matice , které jsou stejného typu, definovat lineární kombinaci matic , kde prvky matice určuje výraz
Mocnina Opakovaným součinem čtvercové matice se samou sebou lze vytvářet mocniny matic . Tyto mocniny lze poté využít při zápisu polynomu , kde je jednotková matice stejného typu jako .
Řádkové operace S maticemi lze provádět následující elementární řádkové operace: součet, neboli přičtení nějakého řádku k jinému, vynásobení řádku, resp. všech prvků v řádku, nenulovou konstantou. Z těchto dvou operací lze odvodit i záměnu pořadí řádků, přičtení násobku řádku k jinému. Zmíněné řádkové operace se používají v řadě situací včetně řešení soustav lineárních rovnic (neboť zachovávají množinu řešení) a výpočtu inverzní matice.
Podobným způsobem lze definovat i sloupcové operace.
Podmatice Podmatice se z matice získá odstraněním libovolně mnoha řádků anebo sloupců. Například odebrání třetího řádku a druhého sloupce z následující matice řádu dává podmatici řádu :
Determinanty určitých podmatic se nazývají minory a kofaktory.
Hlavní podmatice je čtvercová podmatice získaná odstraněním určitých řádků a sloupců. Definice se liší od autora k autorovi. Podle některých autorů je hlavní podmatice taková podmatice, ve které se shodují indexy ponechaných řádků s indexy ponechaných sloupců. Jiní autoři považují za hlavní podmatice jen takové, ve kterých je ponecháno jen několik prvních řádků a odpovídajících sloupců. Uvedený typ podmatice bývá také nazýván vedoucí hlavní podmatice.
Lineární zobrazení náhled| Vektory reprezentované maticí typu odpovídají stranám jednotkového čtverce transformovaného do rovnoběžníku.
Podstatné vlastnosti matic a maticového součinu vynikají v kontextu lineárních zobrazení, nazývaných též lineární transformace. Reálná matice typu určuje lineární zobrazení → tím, že vektor zobrazí maticovým součinem na vektor Na druhou stranu, každé lineární zobrazení je určeno jednoznačně maticí typu . Konkrétně prvek je -tou souřadnicí vektoru , kde je jednotkový vektor s 1 na -té pozici a nulami jinde. O matici se říká, že reprezentuje lineární zobrazení , a se nazývá transformační matice zobrazení .
Například na čtvercovou matici
lze pohlížet jako na zobrazení, které transformuje jednotkový čtverec na rovnoběžník s vrcholy v , , a . Rovnoběžník zobrazený vpravo se získá postupným součinem matice se sloupcovými vektory , , a . (Tyto vektory jsou vrcholy jednotkového čtverce.)
Následující tabulka předvádí několik matic s příslušnými lineárními zobrazeními v . Obrazem modrého originálu jsou zelená mřížka a zelené obrazce. Počátek je vyznačen černou tečkou. Vodorovné zkosenís faktorem = 1,25 Osová souměrnost podél svislé osy Transformace zachovávající plochu s faktorem r = 3/2 Škálovánífaktorem 3/2 Otáčenío π /6 = 30° 175x175pixelů150x150pixelů150x150pixelů125x125pixelů125x125pixelů Vzhledem k vzájemně jednoznačnému vztahu mezi maticemi a lineárními zobrazeními odpovídá maticový součin skládání zobrazení: Jestliže matice typu představuje lineární zobrazení , pak složení je reprezentováno , protože
Poslední rovnost vyplývá z asociativity maticového součinu.
Vlastnosti a základní pojmy
náhled|upright=.5|Červeně je značena hlavní diagonála (d), žlutě vedlejší diagonála (v), zeleně horní sekundární diagonála (h) a fialově dolní sekundární diagonála (s). Diagonála matice
Prvky čtvercové matice řádu tvoří její hlavní diagonálu. Jinými slovy, hlavní diagonála obsahuje prvky , kde .
Prvky pak leží na tzv. vedlejší diagonále,. Vedlejší diagonála je tvořena všemi prvky , kde .
Pro prvky bezprostředně sousedící s hlavní diagonálou, se také používá termín sekundární diagonála, např. u blokových tridiagonálních matic. Horní sekundární diagonálu čtvercové matice řádu tvoří prvky a dolní sekundární diagonálu tvoří prvky .
Pokud se hovoří jen o diagonále matice, je tím obvykle myšlena hlavní diagonála.
Hodnost matice
Hodnost matice se dá definovat jako počet lineárně nezávislých řádků (předpokládáme, že prvky matice jsou prvky nějakého tělesa). Platí, že počet lineárně nezávislých sloupců matice je stejný jako počet lineárně nezávislých řádků. Hodnost matice je též rovna dimenzi prostoru obrazů lineárního zobrazení reprezentovaného maticí .
Algebraické vlastnosti prostorů matic Obvykle se předpokládá, že prvky matice jsou z nějakého okruhu nebo tělesa. Označme jej (obvykle nebo ). Množina všech čtvercových matic tvoří asociativní algebru, která se nazývá maticová algebra, značí se , , nebo apod. Pro je nekomutativní a její centrum je izomorfní (je tvořeno násobky jedničkové matice). Je jednoduchá, tj. nemá žádné netriviální oboustranné ideály. Navíc každá konečně rozměrná jednoduchá asociativní algebra (nad nějakým tělesem) je izomorfní maticové algebře. Každá volba báze -dimenzionálního prostoru nám dává izomorfizmus . Jediná ireducibilní reprezentace této asociativní algebry je její definující reprezentace na .