Ehrenfestovy teorémy (též Ehrenfestovy rovnice) dávají v kvantové mechanice obecné vyjádření derivaci operátoru vůči času. Tvrzení je pojmenováno po Paulu Ehrenfestovi, který jej v roce 1927 odvodil.
Jejich speciální případ, kdy je počítána derivace z operátoru polohy a operátoru hybnosti, je důležitým tvrzením, které v kvantové mechanice hraje obdobu Newtonova II. pohybového zákona. Tento speciální případ je popsán níže a nazývá se Ehrenfestova rovnice či Ehrenfestův teorém (v tomto případě v jednotném čísle).
Ehrenfestovy teorémy mají úzký vztah k Liouvillově větě v Hamiltonovské formulaci mechaniky, kde se místo komutátoru vyskytuje Poissonova závorka.
Formulace Obecné vyjádření má tvar rovnice, ve které na levé straně stojí úplná derivace ze střední hodnoty operátoru vzhledem k času a na pravé straně je rozepsaný tvar pomocí komutátoru s hamiltoniánem systému a parciální derivací vzhledem k času. Obecné znění je , kde je libovolný kvantově-mechanický operátor, hranaté závorky označují komutátor operátorů, je hamiltonián a je střední hodnota operátoru definovaná pomocí skalárního součinu funkcí jako .
Pokud je daný operátor časově nezávislý, takže jeho parciální derivace je nulová a druhý člen na pravé straně odpadne. V Heisenbergově i Schrödingerově obraze je formulace totožná, jediným rozdílem je, že stav buď závisí či nezávisí na čase.
Odvození Uvažujme systém, který se nachází v kvantovém stavu . Pro časovou derivaci střední hodnoty operátoru platí
, přičemž se integruje přes celý prostor.
Schrödingerova rovnice přímo dává vyjádření pro parciální derivaci stavu v čase: , čož platí obdobně i pro komplexní sdružení této rovnice . Vzhledem k tomu, že hamiltonián je hermiteovský operátor, bude platit . Dosazením do předchozí rovnice dostaneme .
Ehrenfestova rovnice Pro hmotnou částici v potenciálním poli lze hamiltonián zapsat jako , kde je operátor polohy částice a . Předpokládejme, že chceme znát okamžitou změnu střední hybnosti . Z Ehrenfestova teorému dostaneme , kde bylo využito toho, že komutuje samo se sebou a v souřadnicové reprezentaci lze operátor hybnosti vyjádřit pomocí gradientu jako , z čehož plyne . Tedy
Pomocí pravidla o derivaci součinu dostaneme .
Jiným příkladem je vztah mezi změnou polohy a hybností, který lze vyjádřit jako , kde je hmotnost částice.
Výrazy pro derivaci hybnosti a polohy lze sloučit dohromady, čímž vznikne Ehrenfestova rovnice.
Tento výraz má tvar druhého Newtonova zákona. Operátor lze pak chápat jako operátor síly. Jedná se o příklad principu korespondence, podle kterého by všechny rovnice v klasické mechanice měly jít odvodit z kvantové mechaniky, jež je obecnější fyzikální teorií.
Odkazy Poznámky
Reference
Literatura
Související články Newtonův II. zákon Liouvilleův teorém Externí odkazy
Kategorie:Kvantová fyzika