Problém osmi dam je šachová úloha, respektive kombinatorický problém umístit na šachovnici osm dam tak, aby se podle pravidel šachu navzájem neohrožovaly, tedy vybrat osm polí tak, aby žádná dvě nebyla ve stejné řadě, sloupci, ani diagonální linii. Obecněji jde o to nalézt všechna možná taková rozmístění nebo určit jejich počet.
Úlohu lze zobecnit na problém n dam, tedy otázku, jak lze rozmístit n dam na šachovnici o rozměrech n×n tak, aby se vzájemně neohrožovaly. Často se využívá při výuce programování, jelikož umožňuje názorný výklad backtrackingových algoritmů.
Historie úlohy Problém osmi dam poprvé zveřejnil v berlínském časopise Schachzeitung v roce 1848 Max Bezzel.Hans Siegfried: Max Friedrich Wilhelm Bezzel na stránkách šachového oddílu Ansbach (německy) V dalších letech se problému věnovalo mnoho slavných matematiků včetně Gausse.Frank Ruskey, Susan Ruskey: Information on the n Queens problem , červen 1996, The Amazing Mathematical Object Factory (anglicky) Zobecnění problému na n dam navrhl v roce 1850 Franz Nauck, který také správně stanovil počet všech řešení původního problému. V roce 1874 navrhl Siegmund Günther metodu řešení úlohy pomocí determinantů, kterou poté vylepšil James Whitbread Lee Glaisher.J. J. O’Connor, E. F. Robertson: Mathematical games and recreations (anglicky)
Počet řešení Problém osmi dam má 92 různých řešení (uvažují se pochopitelně jako kombinace, tedy bez vzájemného rozlišování jednotlivých dam). Těchto 92 řešení však lze získat pomocí symetrie (otočením a zrcadlením podle čtyř os) z dvanácti základních řešení – 11 má osm symetrií, jedno jen čtyři, neboť je samo středově symetrické.
Počet všech řešení problému n dam na n x n šachovnici se započtením symetrie i bez pro malá n je následující (pro n = 1 existuje jediné triviální řešení, pro 2 a 3 žádné). Existuje domněnka, že počet řešení se asymptoticky chová jako n!/cn, kde c je kolem 2,54.
n 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 .. 24 25 26 Všechna řešeníNumber of ways of placing n nonattacking queens on n X n board., posloupnost A000170 v On-Line Encyclopedia of Integer Sequences2 10 4 40 92 352 724 2 680 14 200 73 712 365 596 2 279 184 14 772 512..227 514 171 973 7362 207 893 435 808 35222 317 699 616 364 044 Symetrická jen jednouNumber of ways of placing n nonattacking queens on n X n board (symmetric solutions count only once), posloupnost A002562 v OEIS 12 1 6 12 46 92 341 1 787 9 233 45 752 285 053..28 439 272 956 934275 986 683 743 4342 789 712 466 510 289
Přehled základních řešení Dvanáct základních řešení problému osmi dam je zobrazeno na následujících diagramech:
Související články Jezdcova procházka
Reference
Externí odkazy
Problém osmi dam v encyklopedii MathWorld (anglicky) Rozsáhlá bibliografie
Kategorie:Kompoziční šach Kategorie:Rekreační matematika