miniaturadeimagen|262x262px|Modelo tridimensional de un nudo de ocho. El nudo en forma de ocho es un nudo primo y tiene una notación Alexander-Briggs de 41. La topología (del griego τόπος, 'lugar', y λόγος, 'estudio') es la rama de la matemática dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas.Stewart, Ian: Conceptos de matemática moderna. Alianza Universidad, 1988. p. 171.
Es una disciplina que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. La topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, entre otros.
Los matemáticos usan la palabra topología con dos sentidos: informalmente es el sentido arriba especificado, y de manera formal es la referencia a una cierta familia de subconjuntos de un conjunto dado, familia que cumple unas reglas sobre la unión y la intersección —este segundo sentido puede verse desarrollado en el artículo espacio topológico—.
Idea intuitiva
Coloquialmente, se presenta a la topología como la «geometría de la página de goma (chicle)». Esto hace referencia a que, en la geometría euclídea, dos objetos serán equivalentes mientras podamos transformar uno en otro mediante isometrías (rotaciones, traslaciones, reflexiones, etc.), es decir, mediante transformaciones que conservan las medidas de ángulo, área, longitud, volumen y otras.
En topología, dos objetos son equivalentes en un sentido mucho más amplio. Han de tener el mismo número de trozos, huecos, intersecciones, etc. En topología está permitido doblar, estirar, encoger, retorcer, etc., los objetos, pero siempre que se haga sin romper ni separar lo que estaba unido, ni pegar lo que estaba separado. Por ejemplo, un triángulo es topológicamente lo mismo que una circunferencia, ya que podemos transformar uno en otra de forma continua, sin romper ni pegar. Pero una circunferencia no es lo mismo que un segmento, ya que habría que partirla (o pegarla) por algún punto.
Esta es la razón de que se la llame la «geometría de la página de goma», porque es como si estuviéramos estudiando geometría sobre un papel de goma que pudiera contraerse, estirarse, etc. thumb|Una taza transformándose en una rosquilla (toro). Un chiste habitual entre los topólogos (los matemáticos que se dedican a la topología) es que «un topólogo es una persona incapaz de distinguir una taza de una rosquilla». Pero esta visión, aunque muy intuitiva e ingeniosa, es sesgada y parcial. Por un lado, puede llevar a pensar que la topología trata solo de objetos y conceptos geométricos, siendo más bien al contrario, es la geometría la que trata con un cierto tipo de objetos topológicos. Por otro lado, en muchos casos es imposible dar una imagen o interpretación intuitiva de problemas topológicos o incluso de algunos conceptos. Es frecuente entre los estudiantes primerizos escuchar que «no entienden la topología» y que no les gusta esa rama; generalmente se debe a que se mantienen en esta actitud gráfica. Por último, la topología se nutre también en buena medida de conceptos cuya inspiración se encuentra en el análisis matemático. Se puede decir que casi la totalidad de los conceptos e ideas de esta rama son conceptos e ideas topológicas. center
Un ejemplo clarificador
thumb|Plano del metro de Madrid.
Observemos un plano del metro de Madrid. En él están representadas las estaciones y las líneas de metro que las unen, pero no es geométricamente exacto. La curvatura de las líneas de metro no coincide, ni su longitud a escala, ni la posición relativa de las estaciones... Pero aun así es un plano perfectamente útil. Sin embargo, este plano es exacto en cierto sentido, pues representa fielmente cierto tipo de información, la única que necesitamos para decidir nuestro camino por la red de metro: información topológica.
Historia de la topología
Históricamente, las primeras ideas topológicas conciernen al concepto de límite y al de completitud de un espacio métrico, y se manifestaron principalmente en la crisis de los inconmensurables de los pitagóricos, ante la aparición de números reales no racionales. El primer acercamiento concreto al concepto de límite y también al de integral aparece en el método de exhaución de Arquímedes. La aparición del análisis matemático en el puso en evidencia la necesidad de formalizar los conceptos de proximidad y continuidad, y la incapacidad de la geometría para tratar este tema. Fue precisamente la fundamentación del cálculo infinitesimal, así como los intentos de formalizar el concepto de variedad en Geometría los que impulsaron la aparición de la topología a finales del y principios del .
Se suele fechar el origen de la topología con la resolución por parte de Euler del problema de los puentes de Königsberg, en 1735. Ciertamente, la resolución de Euler del problema utiliza una forma de pensar totalmente topológica, y la solución del problema nos lleva a la característica de Euler, el primer invariante de la topología algebraica, pero sería muy arriesgado y arbitrario fechar en ese momento la aparición de la topología. La situación es exactamente análoga a la del cálculo del área de la elipse por Arquímedes.
El término topología fue usado por primera vez por Johann Benedict Listing en 1836 en una carta a su antiguo profesor de la escuela primaria, Müller, y posteriormente en su libro Vorstudien zur Topologie ('Estudios previos a la topología'), publicado en 1847. Anteriormente se la denominaba analysis situs. Maurice Fréchet introdujo el concepto de espacio métrico en 1906. +Cronología Año Acontecimiento 300 a.C. Euclides define las secciones cónicas y estudia los poliedros regulares, una de las formas más básicas estudiadas por los topólogos. 250 a.C. Arquímedes investiga las curvas espirales y los poliedros truncados.|----- align="left" bgcolor="#f0f5fa" 1735 d.C. Leonhard Euler resuelve el problema de los puentes de Königsberg. 1858 Los alemanes August Möbius y Johann Benedict Listing descubren en forma independiente la hoy llamada banda de Möbius. 1890 Giuseppe Peano aplicando la definición de Jordán demuestra que un cuadrado relleno también es una curva. Década de 1920 Pável Urysón y Karl Menger definen el concepto de curva a partir de la topología.
Desarrollo formal
En el artículo Glosario de topología se encuentra una colección de términos topológicos con su significado. Aquí y ahora nos limitaremos a dar algunas nociones básicas.
Como hemos dicho, el concepto fundamental de la topología es la "relación de proximidad", que puede parecer ambigua y subjetiva. El gran logro de la topología es dar una formulación precisa, objetiva y útil de este concepto. Para ello tomamos un conjunto de referencia , que será el ambiente en el que nos moveremos, y al que llamaremos espacio. Tomaremos un elemento cualquiera de . A los elementos del espacio se les llama puntos, así que será llamado punto, independientemente de que sea una función, un vector, un conjunto, un ideal maximal en un anillo conmutativo y unitario. Un subconjunto de será un entorno de si incluye un conjunto abierto de manera que es elemento de . ¿Qué entenderemos por conjunto abierto? Aquí está el quid de la cuestión: una colección de subconjuntos de se dirá que es una topología sobre si es uno de los elementos de esa colección, si es un elemento de la colección, si la unión de elementos de la colección da como resultado un elemento de la colección y si la intersección finita de elementos de la colección también es un elemento de la colección. A los elementos de la colección se les denomina abiertos de la topología , y al par se le denomina espacio topológico.
Por tanto, las condiciones para que sea topología sobre son las siguientes:
Puede parecer extraño que de una definición tan altamente formal y conjuntista se obtenga una formulación precisa del concepto de proximidad. Lo primero que se observa es que sobre un mismo espacio se pueden definir distintas topologías, generando entonces distintos espacios topológicos. Por otra parte, precisamente la manera en que quede determinada una topología sobre un conjunto (es decir, la elección del criterio que nos permita decidir si un conjunto dado es o no abierto) es lo que va a dar carácter "visualizable" o no a ese espacio topológico.
Una de las maneras más sencillas de determinar una topología es mediante una distancia o métrica, método que solo es aplicable en algunos casos (si bien es cierto que muchos de los casos más interesantes de topologías en la Geometría y del Análisis Matemático pueden determinarse mediante alguna distancia). Una distancia sobre un conjunto es una aplicación que verifica las siguientes propiedades:
si y solo si ;
cualesquiera que sean .
Si tenemos definida una distancia sobre , diremos que la pareja
es un espacio métrico. Dado un espacio métrico , queda determinada una topología sobre en la que los conjuntos abiertos son los subconjuntos de tales que cualquiera que sea el punto de existe un número de tal manera que el conjunto está totalmente incluido en . Al conjunto se le denomina bola abierta de centro y radio , y será precisamente un entorno del punto .
Como se ha apuntado antes, por desgracia no toda topología proviene de una distancia, es decir, existen espacios topológicos que no son espacios métricos. Cuando un espacio topológico es además espacio métrico (esto es, cuando dada una topología sobre un conjunto, puede definirse en ese conjunto una distancia de manera que la topología generada por la distancia coincida con la topología dada) se dice que el espacio topológico es metrizable. Un problema clásico en topología es el de determinar qué condiciones debe satisfacer un espacio topológico para que sea metrizable. Ramas de la topología
Se suelen considerar principalmente tres ramas: la topología general o conjuntista, la topología algebraica y la topología diferencial.
Además de estas tres ramas, que podríamos decir propiamente topológicas, la implicación en mayor o menor medida en otras disciplinas matemáticas hacen que muchos consideren parte de la topología al análisis funcional, la teoría de la medida, la teoría de nudos (parte de la topología de dimensiones baja), la teoría de grupos topológicos, etc. Es fundamental su contribución a la teoría de grafos, análisis matemático, ecuaciones diferenciales, ecuaciones funcionales, variable compleja, geometría diferencial, geometría algebraica, álgebra conmutativa, estadística, teoría del caos, geometría fractal... Incluso tiene aplicaciones directas en biología, sociología, etc.
Topología general o conjuntista
Constituye la base de los estudios en topología. En ella se desarrollan tópicos como lo que es un espacio topológico o los entornos de un punto.
Conceptos fundamentales referidos a la topología de un conjunto
Topología, espacio topológico, abiertos, cerrados, subespacios
Sea un conjunto cualquiera y el conjunto de sus partes. Una topología sobre es un conjunto que cumpla que , , si entonces , y que si entonces . A los elementos de se les denomina conjuntos abiertos. Al par se le denomina espacio topológico. A los elementos de se les suele denominar puntos.
Nótese que desde un primer momento hemos especificado que el conjunto es cualquiera, no necesariamente un conjunto de naturaleza geométrica. La denominación de espacio (topológico) y de punto se mantiene aun cuando sea un conjunto de números, de funciones, de ecuaciones diferenciales, de figuras geométricas, de vectores, de conjuntos...
Como puede observarse, la definición es muy formal y general, y lo primero que se observa es que sobre un mismo conjunto pueden darse multitud de topologías distintas. Así es. Pero de momento,