Las coordenadas plückerianas son un sistema de referencia que permite operar con los puntos del infinito como con cualquier otro punto del espacio euclídeo, siendo una poderosa herramienta de análisis de la geometría proyectiva. Para ello, añade a las coordenadas cartesianas de cada punto una coordenada paramétrica adicional (cuyo valor es 0 cuando se trata de puntos del infinito). Además, este sistema permite explicar la dualidad entre puntos y rectas de la geometría proyectiva.

Debido a que satisfacen una restricción cuadrática, establecen una función biyectiva entre el espacio 4-dimensional de las rectas en P3 y los puntos de una cuádrica en P5 (espacio proyectivo 5-dimensional). Las coordenadas de Plücker han demostrado ser útiles en computación gráfica, y también pueden extenderse a las coordenadas de la teoría torsorial propia de la cinemática utilizada para el control robótico.

Origen Fueron introducidas por el matemático alemán Julius Plücker (1801-1868) en el , durante un período de gran actividad en el que se vivía una intensa pugna en el campo de la geometría proyectiva, donde los partidarios de los procedimientos analíticos (como Plücker) y las partidarios de los procedimientos sintéticos (como Jakob Steiner) polemizaban enconadamente para hacer prevalecer sus postulados. En el segundo volumen de su obra Analytisch-geometrische Entwicklungen, publicado en 1831, adoptó el sistema de utilizar tres coordenadas para definir un punto del plano, como una útil herramienta en el análisis de la geometría proyectiva. Son un antecedente y un caso especial de las coordenadas de Grassmann (que describen k-subespacios lineales dimensionales, o planos, en un espacio euclídeo n-dimensional).

Relación con las coordenadas cartesianas Para el caso del plano (los conceptos son extensibles a cualquier dimensión superior a dos), cada punto está determinado por tres números (x1, x2, k), tales que si k es distinto de 0, los cocientes (X=x1/k) e (Y=x2/k) son las coordenadas cartesianas ordinarias del punto. En cambio, cuando k=0, representan un punto del infinito.

Es evidente que para cualquier coeficiente real λ≠0, las ternas (x1, x2, k) y (λx1, λx2, λk) representan el mismo punto del plano proyectivo. De este modo, k=0 es la ecuación de la recta del infinito, x1=0 coincide con el eje coordenado cartesiano Y, y x2=0 representa el eje X.

Si la ecuación de una recta del plano en coordenadas cartesianas es Ax+By+C=0, en coordenadas plückerianas toma la forma Ax1+Bx2,+Ck=0. Entonces, resolviendo el sistema:

se obtiene el punto (B, -A, 0), punto de intersección con la recta del infinito.

Intuición geométrica

Una línea recta L en el espacio euclídeo tridimensional está determinada por dos puntos de los que contiene distintos entre sí, o también por dos planos distintos que la contienen. Considérese el primer caso, con los puntos x = (x1, x2, x3) e y = (y1, y2, y3). El desplazamiento del vector de x a y es distinto de cero porque los puntos son distintos y representan la dirección de la línea. Es decir, cada desplazamiento entre puntos en L es un múltiplo escalar de d = y - x. Si una partícula física de unidad de masa se moviera de x a y, tendría un momento respecto al origen. El equivalente geométrico es un vector cuya dirección es perpendicular al plano que contiene L y el origen, y cuya longitud es igual al doble del área del triángulo formado por el desplazamiento y el origen. Tratando los puntos como desplazamientos desde el origen, el momento es m = x×y, donde "×" denota el producto vectorial. Para una línea recta fija L, el área del triángulo es proporcional a la longitud del segmento entre x e y, dado que esta distancia es la base de un triángulo cuya altura (y por lo tanto, su área) permanece constante aunque la base se deslice sobre la línea paralelamente a sí misma. Por definición, el vector del momento es perpendicular a cada desplazamiento sobre la línea recta, por lo que d•m = 0, donde "•" denota el vector producto escalar.

Aunque ni d ni m por sí solos solos son suficientes para determinar L, de forma combinada lo hacen de manera unívoca, ligados a un escalar (distinto de cero) que depende de la distancia entre x e y. Es decir, las coordenadas

(d:m)= (d1:d2:d3:m1:m2:m3)

pueden considerarse las coordenadas homogéneas de L, en el sentido de que todos los pares (λd:λm), para λ ≠ 0, pueden ser producidos por los puntos en L y solamente en L, y cualquiera de estos pares siempre determina una única línea recta cuando d no sea cero y cuando d•m  = 0. Además, este enfoque se extiende para incluir puntos, rectas y planos "del infinito", en el sentido de la geometría proyectiva.

Ejemplo. Sea x  = (2,3,7) e y  = (2,1,0). Entonces, (d: m) = (0:−2:−7:−7:14:−4).

Alternativamente, sean las ecuaciones relativas al punto x de dos planos distintos que contienen L

0 = a + a•x 0 = b + b•x.

Entonces los respectivos planos son perpendiculares a los vectores a y b, y la dirección de L debe ser perpendicular a ambos. Por lo tanto, se puede establecer d =axb, que no es cero porque a y b no son ni cero ni paralelos (los planos son distintos y se cruzan). Si el punto x satisface las ecuaciones de los dos planos, entonces también satisface la combinación lineal

| 0 || = a (b + b•x) − b (a + a•x) |- | || = (a b − b a)•x .

Es decir, m  =a b - b a es un vector perpendicular a los desplazamientos a puntos en L desde el origen; es, de hecho, un momento consistente con la d definida previamente de a y b.

Prueba 1: es necesario demostrar que m = a b − b a = r×d = r×(a×b).

Sin pérdida de generalidad, sean a•a = b•b = 1.

El punto B es el origen. La línea recta L pasa por el punto D y es ortogonal al plano de la imagen. Los dos planos pasan por CD y DE y ambos son ortogonales al plano de la imagen. Los puntos C y E son los puntos más cercanos en esos planos al origen B, por lo tanto los ángulos BCD y BED son ángulos rectos y por eso los puntos B, C, D, E se encuentran en un círculo (debido a un corolario del teorema de Tales). BD es el diámetro de ese círculo.

a := BE/ ||BE||,   b := BC/ ||BC||，r := BD,   −a = ||BE|| = ||BF||，−b = ||BC|| = ||BG||,   m = ab−ba = FG,   ||d|| = ||a×b|| = sin(FBG)

El ángulo BHF es un ángulo recto de acuerdo con el siguiente argumento: sea . Desde (por congruencia del lado del ángulo lateral), entonces . Desde , sea . Por el ángulo inscrito, , entonces . ; , y por lo tanto . Entonces DHF también debe ser un ángulo recto.

Los ángulos DCF y DHF son ángulos rectos, por lo que los cuatro puntos C, D, H, F se encuentran en un círculo y (por el teorema de las secantes)

||BF|| ||BC|| = ||BH|| ||BD||, que es ab sin(FBG) = ||BH|| ||r|| sin(FBG), 2·área del triángulo BFG = ab·sin(FBG) = ||BH|| ||FG|| = ||BH|| ||r|| sin(FBG), ||m|| = ||FG|| = ||r|| sin(FBG) = ||r|| ||d||, verifica la dirección y m = r×d.     ∎

Prueba 2:

Sea a · a = b · b = 1. Esto implica que

a = −||BE||,     b = −||BC||

Según la fórmula del producto mixto,

r × (a × b) = (r · b) a − (r · a) b

Entonces

r × (a × b) = a ||r|| ||b|| cos(∠DBC) − b ||r|| ||a|| cos(∠DBE) = a ||r|| cos(∠DBC) − b ||r|| cos(∠DBE) = a ||BC|| − b ||BE|| = −b a − (−a) b = a b − b a     ∎

Cuando ||r|| = 0, la línea recta L pasa por el origen con la dirección d. Si ||r|| > 0, la línea tiene la dirección d; el plano que incluye el origen y la línea recta L tiene el vector normal m; la línea es tangente a un círculo en ese plano (normal a m y perpendicular al plano de la imagen) centrado en el origen y con el radio ||r||.

Ejemplo. Sean a0 = 2, a = (−1,0,0) y b0 = −7, b = (0,7,−2). Entonces (d:m) = (0:−2:−7:−7:14:−4).

Aunque la definición algebraica habitual tiende a ocultar la relación, (d:m) son las coordenadas plückerianas de L.

Definición algebraica

Coordenadas primarias En un espacio proyectivo tridimensional P3, sea L una línea recta que pasa por dos puntos distintos x e y con coordenadas homogéneas (x0:x1:x2:x3) e (y0:y1:y2:y3). Las coordenadas de Plücker pij se definen de la siguiente manera:

Esto implica que pii = 0 y pij = −pji, reduciendo las posibilidades a solo seis (4 sobre 2) cantidades independientes. El sexteto

se determina de manera única para L, siempre que su factor de escala sea distinto de cero. Además, no todos los seis componentes pueden ser cero. Por lo tanto, las coordenadas plückerianas de L se pueden considerar como coordenadas homogéneas de un punto en un espacio proyectivo de 5 dimensiones, como lo sugiere la notación que utiliza el carácter de los dos puntos (:).

Para apreciar estos hechos, sea M la matriz 4 × 2 con las coordenadas del punto como columnas

La coordenada plückeriana pij es el determinante de las filas i y j de M. Debido a que x e y son puntos distintos, las columnas de M son linealmente independientes; M tiene rango 2. Sea M′ una segunda matriz, con las columnas x′ e y′ con un par diferente de puntos distintos entre sí de L. Entonces, las columnas de M′ son combinaciones lineales de las columnas de M; así que para alguna matriz invertible de rango 2 × 2, existe un Λ tal que

En particular, las filas i y j de M′ y M están relacionadas por

Por lo tanto, el determinante de la matriz de 2 × 2 del lado izquierdo es igual al producto de los determinantes de las matrices de 2 × 2 del lado derecho, la última de las cuales es un escalar fijo, det Λ. Además, los seis subdeterminantes de 2×2 en M no pueden ser cero porque el rango de M es 2.

Aplicación de Plücker Denominando el conjunto de todas las líneas rectas (imágenes lineales de P1) en P3 por G1,3. Así, se tiene que:

donde

Coordenadas duales Alternativamente, una línea recta puede describirse como la intersección de dos planos. Sea L una línea contenida en dos planos distintos, a y b con coeficientes homogéneos (a0:a1:a2:a 3) y (b0:b1:b2:b3), respectivamente. (La ecuación del primer plano es ∑k akxk = 0, por ejemplo.) La coordenada plückeriana dual pij es

Las coordenadas duales son convenientes en algunos cálculos y son equivalentes a las coordenadas primarias:

Aquí, la igualdad entre los dos vectores en coordenadas homogéneas significa que los números en el lado derecho son iguales a los números en el lado izquierdo si se considera un factor de escala común . Específicamente, siendo (i, j, k, ℓ) la paridad de una permutación de (0,1,2,3); entonces

Geometría Para relacionar de nuevo con la intuición geométrica, considerando x0 = 0 como el plano del infinito; por lo tanto, las coordenadas de los puntos que no están en el infinito se pueden normalizar de modo que x0 = 1. Entonces M se convierte en

y configurando x = (x1,x2,x3) e y = (y1,y2,y3), se tiene que d = (p01, p02, p03) y que m = (p23,p31,p12).

Dualmente, se tiene que d = (p23,p31,p12) y m = (p01,p02,p03).

Biyección entre líneas rectas y cuádricas de Klein

Ecuaciones planas Si el punto z = (z0:z1:z2:z3) se encuentra en L, entonces las columnas de

son linealmente dependientes, por lo que el rango de esta matriz más grande sigue siendo 2. Esto implica que todas las submatrices de 3 × 3 tienen determinante cero, generando cuatro (4 sobre 3) ecuaciones de los planos, como

Los cuatro planos posibles obtenidos son los siguientes

Usando coordenadas duales, y haciendo que (a0:a1:a2:a3) sean los coeficientes de una línea recta, cada uno de estos es simplemente ai = pij, o

Cada coordenada plückeriana aparece en dos de las cuatro ecuaciones, cada vez que multiplica una variable diferente; y como al menos una de las coordenadas es distinta de cero, se nos garantizan ecuaciones no vacías para dos planos distintos que se intersecan en L. Por lo tanto, las coordenadas plückerianas de una línea recta determinan esa línea de manera única, y la aplicación α es inyectiva.

Relación cuadrática La imagen de α no es el conjunto completo de puntos en P5; las coordenadas plückerianas de una línea recta L satisfacen la relación cuadrática de Plücker

Para comprobarlo, basta escribir este polinomio homogéneo como determinantes y usar la expansión de Laplace (inversa)