En matemáticas, el subgrupo conmutador de un grupo G, es el subgrupo generado por todos los elementos de la forma
denominado conmutador de a con b.
Al subgrupo conmutador también se le conoce como subgrupo derivado de G y se simboliza por o . Esto significa que si entonces x se escribe como una palabra de conmutadores esto es, .
Se puede demostrar que [G,G] es un subgrupo normal y que el grupo cociente es abeliano. El subgrupo conmutador es el menor que verifica esa propiedad, es decir: si verifica que es abeliano entonces .
La construcción recibe el nombre de abelianización de G.
Proposiciones Baumslag y Chandler en su Teoría de grupos enuncian las siguientes proposiciones: El inverso de un conmutador es un conmutador. G'-subgrupo derivado de G- es un subgrupo normal en G. G es conmutativo si, sólo si G' ={e}, i.e. G es conmutativo si y solo si su subgrupo conmutador es el subgrupo que contiene únicamente al elemento neutro.
Serie normal y serie derivada
Dado un grupo , La serie derivada es una construcción iterada, definida de la siguiente manera:
Los grupos se denominan segundo grupo derivado, tercer grupo derivado, y así en adelante y forman la serie normal descedente.
se denomina la serie derivada. Esta no debe confundirse con la serie central inferior, cuyos términos son .
Para un grupo finito, la serie derivada termina en un grupo perfecto, que puede o no ser trivial. Para un grupo infinito, la serie derivada no necesita terminar en una etapa finita, y puede continuar hasta infinitos números ordinales mediante recursión transfinita, obteniendo así la serie derivada transfinita, que finalmente termina en el núcleo perfecto del grupo.
Véase también
Conmutador (matemática)
Bibliografía
Categoría:Teoría de grupos